Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 90 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,9 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 8 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 90 km/ht_r = 0,9 sa = −8 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 2,5 m/s и останавливается через 1,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 2,5 m/sd = 1,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 85 N тянет передний брусок массой 1 kg; брусок массой 4 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgF = 85 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 22 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 13 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,6 kgr = 1,5 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 12 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,2d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 3000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 5 cm бруском массой 0,5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 5 cmθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 7 kg, движущийся горизонтально со скоростью 27 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 56 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 4 kg (положительна в исходном направлении).

M = 7 kgu = 27 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,6 kgv_in = 12 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,3 kg на пружине с k = 420 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,3 kgk = 420 N/mA = 2 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,8 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm проходит через одиночную щель шириной 0,08 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 3 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 550 nma = 0,08 mmL = 3 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 61,56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 25·0,9 = 22,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39,06 m

Итого

d = 22,5 + 39,06 = 61,56 m

Ответ

d = 61,56 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,642 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,642 s

Ответ

t = 3,642 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2896

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 2,5²/(2·1,1) = 2,841 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,841/9,81 = 0,2896

Ответ

μ = 0,2896

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 68 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 14,71)/5 = 14,06 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(14,06 + 2,943) = 68 N

Ответ

T = 68 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 16,55 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12,62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18,02 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 18,02²/(2·9,81) = 16,55 m

Ответ

H = 16,55 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,558 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 45° = 9,192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 45° = 9,192 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 9,192·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,192 + √(84,5 + 1177))/9,81 = 4,558 s

Ответ

t = 4,558 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 27,66 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·130) = 27,66 m/s

Ответ

v_max = 27,66 m/s (99,58 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 22,79 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·6,5²/1,5 = 5,886 + 16,9 = 22,79 N

Ответ

T = 22,79 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,538 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 7,538 m/s

Ответ

v = 7,538 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 1,583 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·3000·0,05² = 3,75 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,75/(4,905·(0,342 + 0,15·0,9397)) = 1,583 m

Ответ

d = 1,583 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 5,25 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 7·27 = 189 kg·m/s

Импульс после удара

189 = 3·56 + 4·v′₂

v′₂ = (189 − 168)/4 = 5,25 m/s

Ответ

v′₂ = 5,25 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 744 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(19 + 12) = 18,6 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 18,6/0,025 = 744 N

Ответ

F_avg = 744 N

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,537 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s

Ответ

T = 2,537 s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,084 J

Угловая частота

ω = √(420/0,3) = 37,42 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·420·0,02² = 0,084 J

Ответ

E = 0,084 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 321,6 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,8/3 = 1,067 m

Частота

f = v/λ = 343/1,067 = 321,6 Hz

Ответ

f₃ = 321,6 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 41,25 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·3/(0,08 × 10⁻³) = 20,63 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 41,25 mm

Ответ

w = 41,25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics