Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 21 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.
Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 5 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.
Грузы массами 6,5 kg и 6 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.
Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.
Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.
Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 145 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 28,5 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 9,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции Ntop трассы на тележку в верхней точке петли.
Автомобиль массой 2000 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 650 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.
Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 25° сжимают на 10 cm бруском массой 0,5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)
Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 0,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′2 второй тележки после столкновения.
На перекрёстке автомобиль массой 1900 kg, едущий на восток со скоростью 10 m/s, сталкивается с автомобилем массой 2000 kg, едущим на север со скоростью 21 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.
Длина математического маятника 0,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.
Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,2 s и амплитудой 12 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 12 cm в точку со смещением 3 cm?
Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 2 m от него равен 90 dB. Найдите уровень β2 на расстоянии 10 m, пренебрегая поглощением и отражениями.
Неподвижный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 30 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений fb (скорость звука 343 m/s).
Ответ: t = 9,333 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 42 m/s.
Ответ: t = 3,035 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: T = 61,21 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.
Ответ: T = 16,82 N
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: H = 4,128 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: vy² = 2gH.
Ответ: t = 4,557 s
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 26,67 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: Ntop = 19,62 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Направление к центру положительно.
Ответ: P = 33,54 kW
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.
Ответ: d = 9,125 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v′2 = 18,86 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.
Ответ: v′ = 11,82 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: T = 1,903 s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: t = 0,6713 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: β2 = 76,02 dB
Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).
Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.
Ответ: fb = 3834 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics