Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.
Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 1,5 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.
Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.
Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 110 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 8 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.
Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Автомобиль массой 800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 22 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 85 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.
Шарик массой 0,6 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.
Автомобиль, движущийся со скоростью 120 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Найдите тормозной путь d.
Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 10 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)
Автомобиль массой 1500 kg, движущийся со скоростью 11 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?
Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.
Груз массой 3,5 kg на пружине с k = 170 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 14 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.
Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 100 m/s, попадает в брусок массой 4 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.
Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,6 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f1 для режима: основной тон (первая гармоника).
Предмет находится в 20 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 50 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).
Ответ: d = 31,43 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Ответ: d = 10,59 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: a = 3,257 m/s²
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Вниз по плоскости — положительное направление.
Ответ: T = 44 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Ответ: t = 4,194 s
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
Ответ: x = 19,36 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: N = 3293 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Направление к центру (вниз) положительно.
Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.
Ответ: T = 10,79 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
К центру (вверх) — положительное направление.
Ответ: d = 70,79 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.
Ответ: d = 0,6109 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: ΔK = 22688 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.
Ответ: J = 8,7 N·s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: v = 0,9732 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: A = 2,076 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: f1 = 285,8 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Ответ: m = 5
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics