Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 11 m/s и останавливается через 120 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 11 m/sd = 120 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 3,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 3,5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 20 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 50 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Найдите тормозной путь d.

v = 50 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,4). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 20 kg, движущийся горизонтально со скоростью 26 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 64 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 11 kg (положительна в исходном направлении).

M = 20 kgu = 26 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1800 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 12 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1000 kgd = 12 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,4 m имеет период малых колебаний 1,49 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,4 mT = 1,49 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,8 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 160 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 1,8 kgk = 160 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «акрил» (n = 1,49). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 2,42n₂ = 1,49

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 30 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 15 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 32,92 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7,5) = 32,92 m

Ответ

s = 32,92 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,394 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,394 s

Ответ

t = 4,394 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,05139

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·120) = 0,5042 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,5042/9,81 = 0,05139

Ответ

μ = 0,05139

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,9129 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 34,34 N

m₁·g·sin θ = 20,13 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,531 N

Ускорение системы

a = (34,34 − 20,13 − 5,531)/9,5 = 0,9129 m/s²

Ответ

a = 0,9129 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 11,96 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12,86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15,32 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15,32²/(2·9,81) = 11,96 m

Ответ

H = 11,96 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 103,7 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24,57 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 24,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24,57 + √(603,9 + 588,6))/9,81 = 6,025 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 17,21·6,025 = 103,7 m

Ответ

x = 103,7 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,7 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·120) = 21,7 m/s

Ответ

v_max = 21,7 m/s (78,12 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,62 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

Ответ

v_min = 2,62 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: d = 19,66 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,5·9,81) = 19,66 m

Ответ

d = 19,66 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,603 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·3 = 176,6 J

μ·m₁g·d = 0,4·29,43·3 = 35,32 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 141,3 → v = √(2·141,3/9) = 5,603 m/s

Ответ

v = 5,603 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −5,091 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 20·26 = 520 kg·m/s

Импульс после удара

520 = 9·64 + 11·v′₂

v′₂ = (520 − 576)/11 = −5,091 m/s

Ответ

v′₂ = −5,091 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 20,67 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·12) = 13,29 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·13,29/1800 = 20,67 m/s

Ответ

v₁ = 20,67 m/s

(74,41 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,9 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,4/1,49² = 24,9 m/s²

Ответ

g = 24,9 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,041 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,8·9,81/160 = 0,1104 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(160/1,8) = 9,428 rad/s

v_max = A·ω = 0,1104·9,428 = 1,041 m/s

Ответ

v_max = 1,041 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 38 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/2,42 = 0,6157

Критический угол

θc = arcsin(0,6157) = 38°

Ответ

θ_c = 38°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 2514 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 30000·(343 − 15)/343 = 28688 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 15) = 27486 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 2514 Hz

Ответ

f_b = 2514 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics