Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 108 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,1 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 10 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 25 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 10 mv_0B = 25 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 40 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 40 Nθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 38 m/s, и он должен упасть на расстоянии 105 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 38 m/sR = 105 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 25 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 25 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 40 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 40 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 1,5 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 90 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Найдите тормозной путь d.

v = 90 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 3000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 10 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 7 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1700 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1800 kg, едущим на север со скоростью 19 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1700 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 19 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 490 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 10 cm от положения равновесия.

m = 1,6 kgk = 490 N/mA = 11 cmx = 10 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 150 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 2,7 kgk = 150 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 1 m от него равен 100 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 10 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 100 dBr₁ = 1 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 30 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 30 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 30 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 133 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 30·1,1 = 33 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·4,5) = 100 m

Итого

d = 33 + 100 = 133 m

Ответ

d = 133 m

2.Кинематика

Ответ: y = 9,215 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

10 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 10/25 = 0,4 s

Высота встречи

y = 25·0,4 − ½·9,81·0,4² = 9,215 m

Ответ

y = 9,215 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,3414 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 40·sin 15° = 283,9 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 38,64 − 28,39

a = 10,24/30 = 0,3414 m/s²

Ответ

a = 0,3414 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 74,62 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 78,48 N

m₁·g·sin θ = 56,75 N

μ·m₁·g·cos θ = 13,53 N

Ускорение системы

a = (78,48 − 56,75 − 13,53)/17 = 0,4824 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9,81 − 0,4824) = 74,62 N

Ответ

T = 74,62 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 22,75 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·105/38² = 0,7133

Угол

2θ = 45,51° → θ = 22,75°

Ответ

θ = 22,75°

Второе решение: 90° − θ = 67,25°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 38,16 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 25·sin 40° = 16,07 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 16,07²/(2·9,81) = 13,16 m

Высота над землёй

H = 25 + 13,16 = 38,16 m

Ответ

H = 38,16 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 10,85 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·40) = 10,85 m/s

Ответ

v_max = 10,85 m/s (39,06 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 46,62 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·4,5²/1,5 = 19,62 + 27 = 46,62 N

Ответ

T = 46,62 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 53,09 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 90/3,6 = 25 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,6·9,81) = 53,09 m

Ответ

d = 53,09 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,3842 m

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(49,05·(0,6428 + 0,2·0,766)) = 0,3842 m

Ответ

d = 0,3842 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 9800 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·7/2500 = 5,6 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·7² = 49000 J

K_after = ½·2500·5,6² = 39200 J

Потерянная энергия

ΔK = 49000 − 39200 = 9800 J

Ответ

ΔK = 9800 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 11,14 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1700·11 = 18700 kg·m/s

p_y = 1800·19 = 34200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 38979/3500 = 11,14 m/s

Ответ

v′ = 11,14 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,802 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(490/1,6) = 17,5 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 17,5·√(0,11² − 0,1²) = 0,802 m/s

Ответ

v = 0,802 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 35,32 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,7·9,81/150 = 0,1766 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,3532 m = 35,32 cm

Ответ

x_max = 35,32 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 80 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (1/10)² = 0,01

Новый уровень

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0,01) = 80 dB

Ответ

β₂ = 80 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 35751 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 30000·(343 + 30)/343 = 32624 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 30) = 35751 Hz

Ответ

f″ = 35751 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics