Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 800 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,5 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 45 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 45 kgθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 4,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 32 m/s, и он должен упасть на расстоянии 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 32 m/sR = 50 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,7 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 15° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на лёгкой нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,2 kgr = 1,3 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 20 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 20 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 13 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 1 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 21 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,3 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 210 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 12 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 210 N/mA = 12 cmx = 1 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 429 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 429 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm падает на две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,5 m. Найдите расстояние y₁ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 1.

λ = 600 nmd = 0,1 mmL = 1,5 mm = 1

y₁ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 74,83 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·800) = 74,83 m/s

Ответ

v = 74,83 m/s

(269,4 km/h)

2.Кинематика

Ответ: d = 88,29 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1544))/(2·4,905) = 4,243 s

Глубина

d = ½·9,81·4,243² = 88,29 m

Ответ

d = 88,29 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 156,9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 114,3 + 42,64 = 156,9 N

Ответ

F = 156,9 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,189 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 28,38 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,073 N

Ускорение системы

a = (44,15 − 28,38 − 5,073)/9 = 1,189 m/s²

Ответ

a = 1,189 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 14,31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·50/32² = 0,479

Угол

2θ = 28,62° → θ = 14,31°

Ответ

θ = 14,31°

Второе решение: 90° − θ = 75,69°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 48,19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 30·sin 25° = 12,68 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,68²/(2·9,81) = 8,193 m

Высота над землёй

H = 40 + 8,193 = 48,19 m

Ответ

H = 48,19 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,571 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,7·sin 15° = 0,44 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,44·9,81·tan 15°) = 1,075 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,44/1,075 = 2,571 s

Ответ

T = 2,571 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 5,575 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,3 = 48,99 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·48,99/1,3 − 0,2·9,81 = 5,575 N

Ответ

T_top = 5,575 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 36,87 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9397 = 36,87 N

F = μN = 0,2·36,87 = 7,375 N

Работа против трения

W_f = F·d = 7,375·5 = 36,87 J

Ответ

W_f = 36,87 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 147,2 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(20 − 10) = 196,2 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·196,2/5 − 49,05 = 147,2 N

Ответ

N = 147,2 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 108,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1)·1,597/0,015 = 108,1 m/s

Ответ

v = 108,1 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 13,5 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(6 + 21) = 13,5 N·s

Ответ

J = 13,5 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,4199 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Ответ

L = 0,4199 m

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,502 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·210·0,12² = 1,512 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·210·0,01² = 0,0105 J

Кинетическая энергия

K = 1,512 − 0,0105 = 1,502 J

Ответ

K = 1,502 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,5997 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/429 = 0,7995 m

Длина

L = nλ/4 = 3·0,7995/4 = 0,5997 m

Ответ

L = 0,5997 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₁ = 9 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1,5/(0,1 × 10⁻³) = 9 mm

Полоса номер 1

y₁ = 1·9 = 9 mm

Ответ

y₁ = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics