Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 18 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 18 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 7 m/s и останавливается через 6,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 7 m/sd = 6,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 11 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 11 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 135 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 135 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,5 kg на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,5 kgr = 1,1 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 3 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 45° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 3 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 900 kg, едущий на восток со скоростью 14 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 24 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 900 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 1,13 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 1,13 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 100 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,5 kgk = 100 N/mA = 17 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «глицерин» (n = 1,47) к плоской границе со средой «вода» (n = 1,33). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,47n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 12 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 12 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 6,667 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,5) = 6,667 m

Ответ

s = 6,667 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 51,51 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9,81) = 16,51 m

Высота над землёй

h_max = 35 + 16,51 = 51,51 m

Ответ

h_max = 51,51 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,4028

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·6,2) = 3,952 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,952/9,81 = 0,4028

Ответ

μ = 0,4028

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 8,607 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·7,029) = 8,607 m

Ответ

d = 8,607 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 7,062 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 60° = 20 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 60° = 34,64 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·34,64/9,81 = 7,062 s

Ответ

t = 7,062 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,839 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9,83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6,883 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 6,883·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,883 + √(47,37 + 392,4))/9,81 = 2,839 s

Ответ

t = 2,839 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 32,55 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·135) = 32,55 m/s

Ответ

v_max = 32,55 m/s (117,2 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 91,42 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·7,5²/1,1 = 14,71 + 76,7 = 91,42 N

Ответ

T = 91,42 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 7,778 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 45°) = 17,24 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·17,24/3 = 7,778 N

Ответ

T = 7,778 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,778 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 30,61 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(5 − 0,15·1,5) = 23,42 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 23,42 → x = √(2·23,42/500) = 0,3061 m = 30,61 cm

Ответ

x = 30,61 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,857 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4,5)/(2,5 + 4,5)·11 = −3,143 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4,5)·11 = 7,857 m/s

Ответ

v′₂ = 7,857 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 62,3 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 900·14 = 12600 kg·m/s

p_y = 1000·24 = 24000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,905 → θ = 62,3°

Ответ

θ = 62,3°

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,73 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,13² = 24,73 m/s²

Ответ

g = 24,73 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,445 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(100/0,5) = 14,14 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·100·0,17² = 1,445 J

Ответ

E = 1,445 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 64,79 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,47 = 0,9048

Критический угол

θc = arcsin(0,9048) = 64,79°

Ответ

θ_c = 64,79°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −60 cm

Фокусное расстояние

f = R/2 = 15 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/12

d_i = −60 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −60 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics