Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 26 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 26 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 65° к горизонту, и он падает на расстоянии 110 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 65°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 11 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 3 kg отпускают без начальной скорости на высоте 17 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 3 kgh = 17 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 19 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,4d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,9 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 3 kgL = 1,9 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,5 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 400 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 400 m/sM = 2,5 kgk = 100 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 343 m/sn = 5L = 0,8 m

f₅ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 500 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 532 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 500 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 5,556 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/5 = 5,556 s

Ответ

t = 5,556 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 296,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 26·2,5 = 65 m/s

h₁ = ½·26·2,5² = 81,25 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 65²/(2·9,81) = 215,3 m

h_max = 81,25 + 215,3 = 296,6 m

Ответ

h_max = 296,6 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,355 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Ответ

a = 3,355 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,415 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 1,472)/3 = 4,415 m/s²

Ответ

a = 4,415 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 37,53 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 130°) = 37,53 m/s

Ответ

v₀ = 37,53 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 36,22 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 30° = 9,526 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 30° = 5,5 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 5,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,5 + √(30,25 + 981))/9,81 = 3,802 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 9,526·3,802 = 36,22 m

Ответ

x = 36,22 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,58 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·45) = 17,58 m/s

Ответ

v_max = 17,58 m/s (63,28 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 229,6 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·17 = 333,5 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 3·333,5/5 + 29,43 = 229,6 N

Ответ

N_bottom = 229,6 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,567 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,5 − 0,4·0,866)) = 7,567 m/s

Ответ

v = 7,567 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 136,5 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,1·2,5) = 466 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 466 → x = √(2·466/500) = 1,365 m = 136,5 cm

Ответ

x = 136,5 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,3333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·3 = 0,3333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·3 = 3,333 m/s

Ответ

v′₁ = 0,3333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 449,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 30°) = 0,2546 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,2546) = 2,235 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,015·2,235/0,015 = 449,2 m/s

Ответ

v = 449,2 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,5591 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,5/2π)² = 0,5591 m

Ответ

L = 0,5591 m

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 25,25 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·400/2,51 = 1,594 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(100/2,51) = 6,312 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,594/6,312 = 0,2525 m = 25,25 cm

Ответ

A = 25,25 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 1072 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,8/5 = 0,32 m

Частота

f = v/λ = 343/0,32 = 1072 Hz

Ответ

f₅ = 1072 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 3

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 2 µm/0,532 µm = 3,759 → m_max = 3

Ответ

m_max = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics