Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,7 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,7 sa = −5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 19 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 200 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 200 Nθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 115 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 8 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 8 kgm₂ = 12 kgF = 115 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 25° к горизонту, и он падает на расстоянии 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 25°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 23 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,8 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 230 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 230 mθ = 30°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 6 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,4). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 1 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 13 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 4 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,25 kgv_in = 13 m/sv_out = 4 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 250 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 16 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 12 cm от положения равновесия.

k = 250 N/mA = 16 cmx = 12 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,5 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 343 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 20 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 29,01 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,7 = 9,722 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Итого

d = 9,722 + 19,29 = 29,01 m

Ответ

d = 29,01 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 33,4 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Высота над землёй

h_max = 15 + 18,4 = 33,4 m

Ответ

h_max = 33,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,961 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 200·sin 40° = 116,7 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 153,2 − 29,17

a = 124/25 = 4,961 m/s²

Ответ

a = 4,961 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,807 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 58,86)/20 = 2,807 m/s²

Ответ

a = 2,807 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 17,89 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 50°) = 17,89 m/s

Ответ

v₀ = 17,89 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 63,94 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 23·cos 40° = 17,62 m/s

v_y0 = 23·sin 40° = 14,78 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(14,78² + 2·9,81·55) = 36,02 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 36,02/17,62 → α = 63,94°

Ответ

α = 63,94°

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,647 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·2,8)) = 2,647 rad/s

Ответ

ω = 2,647 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 18,03 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(230·9,81·0,1536/1,066) = 18,03 m/s

Ответ

v_min = 18,03 m/s

(64,91 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 6,601 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,5 − 0,15·0,866)) = 6,601 m/s

Ответ

v = 6,601 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,981 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 9,81·3 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,4·19,62·3 = 23,54 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 5,886 → v = √(2·5,886/3) = 1,981 m/s

Ответ

v = 1,981 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,7273 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3)/(2,5 + 3)·8 = −0,7273 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3)·8 = 7,273 m/s

Ответ

v′₁ = −0,7273 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 4,25 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(4 + 13) = 4,25 N·s

Ответ

J = 4,25 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,794 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Ответ

T = 1,794 s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,4 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·250·0,16² = 3,2 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·250·0,12² = 1,8 J

Кинетическая энергия

K = 3,2 − 1,8 = 1,4 J

Ответ

K = 1,4 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 857,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,5/5 = 0,4 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Ответ

f₅ = 857,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 2204 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 20000·(343 − 20)/343 = 18834 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 20) = 17796 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 2204 Hz

Ответ

f_b = 2204 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics