Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 34 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 34 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 3 m/s² в течение 6 s, затем движется с постоянной скоростью 10 s и, наконец, тормозит с замедлением 2 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 10 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 32 m/s под углом 55° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 22 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 32 m/sθ = 55°h_roof = 22 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 35 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1 kg на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1 kgr = 0,5 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 15 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,2d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,8 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1,5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 1 kgh = 4,8 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 16 kg, движущийся горизонтально со скоростью 39 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 87 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 15 kg (положительна в исходном направлении).

M = 16 kgu = 39 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 87 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,4 kgv_in = 26 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1 m имеет период малых колебаний 1,88 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1 mT = 1,88 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 150 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 150 m/sM = 2,5 kgk = 1000 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Наблюдатель движется со скоростью 10 m/s от неподвижного источника частотой 600 Hz. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 20 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 20 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 1156 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/2 = 34 s

Путь

d = v·t = 34·34 = 1156 m

Ответ

d = 1156 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 68 m/s.

2.Кинематика

Ответ: s = 315 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·10 = 180 m

s₃ = 18²/(2·2) = 81 m

Полный путь

s = 54 + 180 + 81 = 315 m

Ответ

s = 315 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,554 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,1·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,0766) = 5,554 m/s²

Ответ

a = 5,554 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 27,6 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 9,32)/13 = 1,924 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·1,924 + 9,32 = 27,6 N

Ответ

T = 27,6 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 38,32 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·16,38/9,81 = 3,34 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 11,47·3,34 = 38,32 m

Ответ

x = 38,32 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 78,95 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 18,35 m/s, v_y = 26,21 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

22 = 26,21·t − 4,905·t²

t = (26,21 + √(26,21² − 2·9,81·22))/9,81 = 4,301 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,35·4,301 = 78,95 m

Ответ

x = 78,95 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 16,57 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·35) = 16,57 m/s

Ответ

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 59,81 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·5²/0,5 = 9,81 + 50 = 59,81 N

Ответ

T = 59,81 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,428 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 8,428 m/s

Ответ

v = 8,428 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: N = 13,73 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,8 − 3) = 35,32 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·35,32/1,5 − 9,81 = 13,73 N

Ответ

N = 13,73 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 35,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 16·39 = 624 kg·m/s

Импульс после удара

624 = 1·87 + 15·v′₂

v′₂ = (624 − 87)/15 = 35,8 m/s

Ответ

v′₂ = 35,8 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12,4 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(5 + 26) = 12,4 N·s

Ответ

J = 12,4 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,17 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1,88² = 11,17 m/s²

Ответ

g = 11,17 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 4,487 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·150/2,515 = 0,8946 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/2,515) = 19,94 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,8946/19,94 = 0,04487 m = 4,487 cm

Ответ

A = 4,487 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 582,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 582,5 Hz

Ответ

f′ = 582,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 60 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 15 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

Ход лучей

действительное изображение перед зеркалом

Ответ

d_i = 60 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics