Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 100 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,4 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,4 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 10 s, затем движется с постоянной скоростью 15 s и, наконец, тормозит с замедлением 5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 10 st₂ = 15 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 90 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 90 Nθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 115 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 12 kgF = 115 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 28 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 32 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 32 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 60 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 60 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,5 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,5 kgr = 0,9 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1500 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1500 kgθ = 5°F_r = 600 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 12 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 5 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 800 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1300 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 18,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 800 kgm₂ = 1300 kgd = 18,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,9 m имеет период малых колебаний 2 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,9 mT = 2 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,9 kg на пружине с k = 70 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,9 kgk = 70 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1,5 cm находится в 6 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1,5 cmd_o = 6 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,2 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 2 m светлая полоса номер 4 находится в 19,2 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,2 mmL = 2 my₄ = 19,2 mmm = 4

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 109 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,4 = 38,89 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5,5) = 70,15 m

Итого

d = 38,89 + 70,15 = 109 m

Ответ

d = 109 m

2.Кинематика

Ответ: s = 440 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·10 = 20 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·10² = 100 m

s₂ = 20·15 = 300 m

s₃ = 20²/(2·5) = 40 m

Полный путь

s = 100 + 300 + 40 = 440 m

Ответ

s = 440 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8093 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 90·sin 20° = 214,5 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 84,57 − 64,34

a = 20,23/25 = 0,8093 m/s²

Ответ

a = 0,8093 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 52,27 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 32,37)/22 = 3,756 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(3,756 + 1,472) = 52,27 N

Ответ

T = 52,27 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 7,137 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 25° = 25,38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 25° = 11,83 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 11,83²/(2·9,81) = 7,137 m

Ответ

H = 7,137 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 52,12 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 32·cos 50° = 20,57 m/s

v_y0 = 32·sin 50° = 24,51 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(24,51² + 2·9,81·5) = 26,44 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 26,44/20,57 → α = 52,12°

Ответ

α = 52,12°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,7 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·60) = 21,7 m/s

Ответ

v_max = 21,7 m/s (78,12 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 96,38 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·7²/0,9 = 14,71 + 81,67 = 96,38 N

Ответ

T = 96,38 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 37,65 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 5° = 1282 N

F = 1282 + 600 = 1882 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1882·20 = 37650 W = 37,65 kW

Ответ

P = 37,65 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 15,66 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(1 − 0,15·4) = 9,81 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 9,81 → x = √(2·9,81/800) = 0,1566 m = 15,66 cm

Ответ

x = 15,66 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 768,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 5)·1,534/0,01 = 768,7 m/s

Ответ

v = 768,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 43,31 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·18,5) = 16,5 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·16,5/800 = 43,31 m/s

Ответ

v₁ = 43,31 m/s

(155,9 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,883 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/2² = 8,883 m/s²

Ответ

g = 8,883 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,8352 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(70/2,9) = 4,913 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,17·4,913 = 0,8352 m/s

Ответ

v_max = 0,8352 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 2,143 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/6

d_i = −8,571 cm

Увеличение и высота

m = −(−8,571)/6 = 1,429

h_i = 1,429·1,5 = 2,143 cm

Ответ

h_i = 2,143 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 480 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,0192·0,0002/(4·2) = 4,8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

Ответ

λ = 480 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics