Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 100 N тянет передний брусок массой 10 kg; брусок массой 12 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 12 kgm₂ = 10 kgF = 100 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 24 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 13 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 24 m/sθ = 65°h_roof = 13 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 95 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 95 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,8 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,8 kgr = 1,4 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 20 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,15d = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 17,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 17,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 16 kg, движущийся горизонтально со скоростью 32 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 5 kg продолжает движение вперёд со скоростью 79 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 11 kg (положительна в исходном направлении).

M = 16 kgu = 32 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 79 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1100 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1400 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 4,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1100 kgm₂ = 1400 kgd = 4,5 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 110 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,05 s (со знаком).

m = 0,8 kgk = 110 N/mA = 8 cmt = 1,05 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 410 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

k = 410 N/mA = 4 cmx = 2 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 528 Hz: гармоника номер 2. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 2f₂ = 528 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 5 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 14,84 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6,5) = 14,84 m

Ответ

s = 14,84 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,446 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,446 s

Ответ

t = 3,446 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 137 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 103,6 + 33,34 = 137 N

Ответ

F = 137 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 54,55 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 21,58)/22 = 3,564 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 12·(3,564 + 0,981) = 54,55 N

Ответ

T = 54,55 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 4,995 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 9,899²/(2·9,81) = 4,995 m

Ответ

H = 4,995 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 37,76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 10,14 m/s, v_y = 21,75 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

13 = 21,75·t − 4,905·t²

t = (21,75 + √(21,75² − 2·9,81·13))/9,81 = 3,723 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,14·3,723 = 37,76 m

Ответ

x = 37,76 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,65 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·95) = 23,65 m/s

Ответ

v_max = 23,65 m/s (85,13 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 35,85 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·7²/1,4 = 7,848 + 28 = 35,85 N

Ответ

T = 35,85 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 15,36 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·20·(0,7071 − 0,15·0,7071)) = 15,36 m/s

Ответ

v = 15,36 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 12,13 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(17,5 − 10) = 147,2 m²/s²

v = 12,13 m/s

Ответ

v = 12,13 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 10,64 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 16·32 = 512 kg·m/s

Импульс после удара

512 = 5·79 + 11·v′₂

v′₂ = (512 − 395)/11 = 10,64 m/s

Ответ

v′₂ = 10,64 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 15,1 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·4,5) = 6,644 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·6,644/1100 = 15,1 m/s

Ответ

v₁ = 15,1 m/s

(54,36 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: x = 7,743 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(110/0,8) = 11,73 rad/s

ω·t = 11,73·1,05 = 12,31 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(12,31) = 7,743 cm

Ответ

x = 7,743 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,082 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·410·0,04² = 0,328 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·410·0,02² = 0,082 J

Ответ

U = 0,082 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6496 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/528 = 0,6496 m

Длина

L = nλ/2 = 2·0,6496/2 = 0,6496 m

Ответ

L = 0,6496 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 25740 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

Ответ

f″ = 25740 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics