Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 32 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 32 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 15 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 15 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 10,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 10,5 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 34 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 78 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 34 m/sθ = 55°x = 78 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 85 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 85 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 21,7 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 1 kgh = 21,7 mR = 7 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,1d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 7 kg, движущийся горизонтально со скоростью 39 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 78 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 7 kgu = 39 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1400 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 7,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1400 kgm₂ = 800 kgd = 7,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2 kg на пружине с k = 220 N/m оттягивают на 12 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,25 s (со знаком).

m = 2 kgk = 220 N/mA = 12 cmt = 0,25 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 60 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 0,8 kgk = 60 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 264 Hz: основной тон (первая гармоника). Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 264 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm проходит через одиночную щель шириной 0,08 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 1,5 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 450 nma = 0,08 mmL = 1,5 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 66,67 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66,67 m

Ответ

s = 66,67 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 426,2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 32·2,5 = 80 m/s

h₁ = ½·32·2,5² = 100 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 80²/(2·9,81) = 326,2 m

h_max = 100 + 326,2 = 426,2 m

Ответ

h_max = 426,2 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 111,8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 73,57 + 38,23 = 111,8 N

Ответ

F = 111,8 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 10,06 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·5,48) = 10,06 m

Ответ

d = 10,06 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 32,93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 34·cos 55° = 19,5 m/s

t = x/v_x = 78/19,5 = 4 s

Высота в этот момент

y = 27,85·4 − ½·9,81·4² = 32,93 m

Ответ

y = 32,93 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 129,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17,21 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 17,21·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,21 + √(296,1 + 882,9))/9,81 = 5,254 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,57·5,254 = 129,1 m

Ответ

x = 129,1 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 25,83 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·85) = 25,83 m/s

Ответ

v_max = 25,83 m/s (92,98 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 11,77 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(21,7 − 2·7) = 151,1 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 1·151,1/7 − 9,81 = 11,77 N

Ответ

N_top = 11,77 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 17,78 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9063 = 35,56 N

F = μN = 0,1·35,56 = 3,556 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,556·5 = 17,78 J

Ответ

W_f = 17,78 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 11,61 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,3·2,5) = 26,98 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 26,98 → x = √(2·26,98/4000) = 0,1161 m = 11,61 cm

Ответ

x = 11,61 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 32,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 7·39 = 273 kg·m/s

Импульс после удара

273 = 1·78 + 6·v′₂

v′₂ = (273 − 78)/6 = 32,5 m/s

Ответ

v′₂ = 32,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 14,77 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·7,5) = 9,396 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·9,396/1400 = 14,77 m/s

Ответ

v₁ = 14,77 m/s

(53,16 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,6249 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(220/2) = 10,49 rad/s

ω·t = 10,49·0,25 = 2,622 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,12·10,49·sin(2,622) = −0,6249 m/s

Ответ

v = −0,6249 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 26,16 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,8·9,81/60 = 0,1308 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,2616 m = 26,16 cm

Ответ

x_max = 26,16 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6496 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/264 = 1,299 m

Длина

L = nλ/2 = 1·1,299/2 = 0,6496 m

Ответ

L = 0,6496 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 16,88 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1,5/(0,08 × 10⁻³) = 8,438 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 16,88 mm

Ответ

w = 16,88 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics