Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,6 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 18 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 18 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 3,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3,5 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 15 m/s под углом 15° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 15 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,4 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,4 kgr = 1,2 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 3 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 50 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 7 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 50 Nθ = 30°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 4 kg, движущийся горизонтально со скоростью 31 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 54 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 4 kgu = 31 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 54 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1400 kg, едущий на восток со скоростью 20 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1400 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 140 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,8 kgk = 140 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 3 cm находится в 25 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 3 cmd_o = 25 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,4. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,5n₂ = 1,4n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 123,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·4,5) = 123,5 m

Ответ

s = 123,5 m

2.Кинематика

Ответ: d = 92,03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1578))/(2·4,905) = 4,332 s

Глубина

d = ½·9,81·4,332² = 92,03 m

Ответ

d = 92,03 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,512 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Ответ

a = 1,512 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 0,8217 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3,5²/(2·7,454) = 0,8217 m

Ответ

d = 0,8217 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 75,75 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31,95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11,63 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,63/9,81 = 2,371 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 31,95·2,371 = 75,75 m

Ответ

x = 75,75 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 28,52 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 15·cos 15° = 14,49 m/s

v_y0 = 15·sin 15° = 3,882 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(3,882² + 2·9,81·30) = 24,57 m/s

Скорость при ударе

v = √(14,49² + 24,57²) = 28,52 m/s

Ответ

v = 28,52 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 16,27 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·45) = 16,27 m/s

Ответ

v_max = 16,27 m/s (58,59 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 32,4 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,4·9,81 + 1,4·4²/1,2 = 13,73 + 18,67 = 32,4 N

Ответ

T = 32,4 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 5,948 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,7071 − 0,15·0,7071)) = 5,948 m/s

Ответ

v = 5,948 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 6,895 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 8,496 N

Работа и энергия

½mv² = (50 − 33,02)·7 = 118,9 J

v = √(2·118,9/5) = 6,895 m/s

Ответ

v = 6,895 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −38 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 4·31 = 124 kg·m/s

Импульс после удара

124 = 3·54 + 1·v′₂

v′₂ = (124 − 162)/1 = −38 m/s

Ответ

v′₂ = −38 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 29,74 °

Составляющие импульса

p_x = 1400·20 = 28000 kg·m/s

p_y = 1000·16 = 16000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,5714 → θ = 29,74°

Ответ

θ = 29,74°

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,296 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,7/9,81) = 3,296 s

Ответ

T = 3,296 s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 21 m/s²

Угловая частота

ω = √(140/0,8) = 13,23 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,12·13,23² = 21 m/s²

Ответ

a_max = 21 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −2,769 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/25

d_i = 23,08 cm

Увеличение и высота

m = −23,08/25 = −0,9231

h_i = −0,9231·3 = −2,769 cm

Ответ

h_i = −2,769 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 32,58 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,4/1,5 = 0,9333 → θc = 68,96°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,4²) = 0,5385

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,5385) = 32,58°

Ответ

θ_a = 32,58°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics