Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 1,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1900 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 26 m/s, и он должен упасть на расстоянии 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 26 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 29 m/s под углом 50° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 10 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 29 m/sθ = 50°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 20 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 20 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 3 kg отпускают без начальной скорости на высоте 39 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 10 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 3 kgh = 39 mR = 10 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 10 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 2000 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 15 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 165 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 6 m вверх по плоскости.

m = 15 kgF = 165 Nθ = 35°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1100 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 12 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1100 kgm₂ = 1900 kgd = 12 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,9 kg на пружине с k = 500 N/m оттягивают на 4 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 2,9 kgk = 500 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 1,2 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 343 m/sn = 3L = 1,2 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,4. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,5n₂ = 1,4n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 81,55 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1900) = 81,55 m/s

Ответ

v = 81,55 m/s

(293,6 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 26,83 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 1,835 = 26,83 m

Ответ

h_max = 26,83 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,5897 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,3·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2819) = 0,5897 m/s²

Ответ

a = 0,5897 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 9,249 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 5,886)/7 = 0,5606 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·0,5606 + 5,886 = 9,249 N

Ответ

T = 9,249 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 10,64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/26² = 0,3628

Угол

2θ = 21,27° → θ = 10,64°

Ответ

θ = 10,64°

Второе решение: 90° − θ = 79,36°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 74,98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 18,64 m/s, v_y = 22,22 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

10 = 22,22·t − 4,905·t²

t = (22,22 + √(22,22² − 2·9,81·10))/9,81 = 4,022 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,64·4,022 = 74,98 m

Ответ

x = 74,98 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 7,672 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·20) = 7,672 m/s

Ответ

v_max = 7,672 m/s (27,62 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 82,4 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(39 − 2·10) = 372,8 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 3·372,8/10 − 29,43 = 82,4 N

Ответ

N_top = 82,4 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 10,19 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·2000·0,1² = 10 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 10/0,981 = 10,19 m

Ответ

h = 10,19 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,072 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 84,4 N

μ·mg·cos θ = 18,08 N

Работа и энергия

½mv² = (165 − 102,5)·6 = 375,1 J

v = √(2·375,1/15) = 7,072 m/s

Ответ

v = 7,072 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 8,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·10 = −1,667 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·10 = 8,333 m/s

Ответ

v′₂ = 8,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 32,41 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·12) = 11,89 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·11,89/1100 = 32,41 m/s

Ответ

v₁ = 32,41 m/s

(116,7 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,8051 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Ответ

L = 0,8051 m

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 6,897 m/s²

Угловая частота

ω = √(500/2,9) = 13,13 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,04·13,13² = 6,897 m/s²

Ответ

a_max = 6,897 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 214,4 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·1,2/3 = 1,6 m

Частота

f = v/λ = 343/1,6 = 214,4 Hz

Ответ

f₃ = 214,4 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 32,58 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,4/1,5 = 0,9333 → θc = 68,96°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,4²) = 0,5385

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,5385) = 32,58°

Ответ

θ_a = 32,58°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics