Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 20 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 24 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 20 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 40 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 160 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 40 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 7 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 7 m/sθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 33 m/s под углом 45° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 19 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 33 m/sθ = 45°h_roof = 19 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 40° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 0,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на лёгкой нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,3 kgr = 1,5 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,35. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 10 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,35d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 15 cm бруском массой 3 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1700 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 16,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1700 kgm₂ = 2000 kgd = 16,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,9 kg на пружине с k = 200 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,9 kgk = 200 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 4 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 4 cmf = 8 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 633 nm проходит через одиночную щель шириной 0,1 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 1,5 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 633 nma = 0,1 mmL = 1,5 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 28,57 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28,57 m

Ответ

s = 28,57 m

2.Кинематика

Ответ: y = 16,59 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 20/24 = 0,8333 s

Высота встречи

y = 24·0,8333 − ½·9,81·0,8333² = 16,59 m

Ответ

y = 16,59 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,512 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 160·sin 30° = 312,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 138,6 − 78,1

a = 60,46/40 = 1,512 m/s²

Ответ

a = 1,512 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 4,257 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,1·cos 30°) = 5,755 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·5,755) = 4,257 m

Ответ

d = 4,257 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,835 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 30° = 15,59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 30° = 9 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9/9,81 = 1,835 s

Ответ

t = 1,835 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 86,67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 23,33 m/s, v_y = 23,33 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

19 = 23,33·t − 4,905·t²

t = (23,33 + √(23,33² − 2·9,81·19))/9,81 = 3,714 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 23,33·3,714 = 86,67 m

Ответ

x = 86,67 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 0,9617 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,3·sin 40° = 0,1928 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1928·9,81·tan 40°) = 1,26 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,1928/1,26 = 0,9617 s

Ответ

T = 0,9617 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 31,78 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,5 = 51,39 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,3·51,39/1,5 − 1,3·9,81 = 31,78 N

Ответ

T_top = 31,78 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 6,215 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,5 − 0,35·0,866)) = 6,215 m/s

Ответ

v = 6,215 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 2,523 m

Энергия пружины

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·5000·0,15² = 56,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56,25/(29,43·(0,6428 + 0,15·0,766)) = 2,523 m

Ответ

d = 2,523 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 4,455 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 1)/(4,5 + 1)·7 = 4,455 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 1)·7 = 11,45 m/s

Ответ

v′₁ = 4,455 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 35,03 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·16,5) = 16,09 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3700·16,09/1700 = 35,03 m/s

Ответ

v₁ = 35,03 m/s

(126,1 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,8051 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Ответ

L = 0,8051 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,8593 m/s

Угловая частота

ω = √(200/3,9) = 7,161 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,12·7,161 = 0,8593 m/s

Ответ

v_max = 0,8593 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −8 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/4

d_i = −8 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

d_i = −8 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 18,99 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 633 × 10⁻⁹·1,5/(0,1 × 10⁻³) = 9,495 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 18,99 mm

Ответ

w = 18,99 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics