Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 240 km/h, а длина полосы 2400 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 10 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 24 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 110 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 110 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,9 kg на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,9 kgr = 1,1 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 20°μ = 0,1d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 20 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,45 kgv_in = 26 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 110 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 110 N/mA = 8 cmx = 1 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Одна машина создаёт уровень звука 65 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 3 одинаковых машин (некогерентные источники).

β₁ = 65 dBn = 3

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 486 nm падает под прямым углом на решётку с 800 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₂ максимума порядка 2.

N = 800 mm⁻¹λ = 486 nmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,9259 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·2400) = 0,9259 m/s²

Ответ

a = 0,9259 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,74 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,74 s

Ответ

t = 3,74 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 64,3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 56,27 + 8,036 = 64,3 N

Ответ

F = 64,3 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,196 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/9,5 = 6,196 m/s²

Ответ

a = 6,196 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 8,828 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8,66 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·8,66/9,81 = 1,766 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 5·1,766 = 8,828 m

Ответ

x = 8,828 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 38,2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 24·cos 20° = 22,55 m/s

v_y0 = 24·sin 20° = 8,208 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(8,208² + 2·9,81·45) = 30,83 m/s

Скорость при ударе

v = √(22,55² + 30,83²) = 38,2 m/s

Ответ

v = 38,2 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 25,45 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·110) = 25,45 m/s

Ответ

v_max = 25,45 m/s (91,6 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 54,85 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·7,5²/1,1 = 8,829 + 46,02 = 54,85 N

Ответ

T = 54,85 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 46,09 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,9397 = 23,05 N

F = μN = 0,1·23,05 = 2,305 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,305·20 = 46,09 J

Ответ

W_f = 46,09 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 20,62 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,1·2,5) = 31,88 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 31,88 → x = √(2·31,88/1500) = 0,2062 m = 20,62 cm

Ответ

x = 20,62 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4,615 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·6 = −1,385 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·6 = 4,615 m/s

Ответ

v′₂ = 4,615 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 20,7 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(20 + 26) = 20,7 N·s

Ответ

J = 20,7 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,416 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Ответ

T = 3,416 s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,3465 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·110·0,08² = 0,352 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·110·0,01² = 0,0055 J

Кинетическая энергия

K = 0,352 − 0,0055 = 0,3465 J

Ответ

K = 0,3465 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 69,77 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Суммарная интенсивность

I = 3·I₁

Уровень

β = 65 + 10·log₁₀(3) = 69,77 dB

Ответ

β = 69,77 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 51,04 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/800 mm = 1,25 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 2·486 × 10⁻⁹/(1,25 × 10⁻⁶) = 0,7776

θ = 51,04°

Ответ

θ₂ = 51,04°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics