Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 6 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 3 m/s и останавливается через 3,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 3 m/sd = 3,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6,5 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 25° к горизонту, и он падает на расстоянии 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 25°R = 20 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 40 m/s под углом 45° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 7 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 40 m/sθ = 45°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 100 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 100 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 230 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 230 mθ = 20°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 3 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 60° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 3 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1100 kg, движущийся со скоростью 13 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1100 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,2 kg ударяется о стену со скоростью 9 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,2 kgv_in = 9 m/sv_out = 17 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 350 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 1,6 kgk = 350 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 120 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

k = 120 N/mA = 13 cmx = 5 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 60 cmf = 25 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm проходит через одиночную щель шириной 0,15 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 3 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 600 nma = 0,15 mmL = 3 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,667 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/3 = 6,667 s

Ответ

t = 6,667 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 36,83 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Высота над землёй

h_max = 35 + 1,835 = 36,83 m

Ответ

h_max = 36,83 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,148

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·3,1) = 1,452 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,452/9,81 = 0,148

Ответ

μ = 0,148

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,391 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 31,88 N

μ·m₁·g·cos θ = 13,81 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 31,88 − 13,81)/13 = 1,391 m/s²

Ответ

a = 1,391 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·20/sin 50°) = 16 m/s

Ответ

v₀ = 16 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 155,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 28,28 m/s, v_y = 28,28 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

7 = 28,28·t − 4,905·t²

t = (28,28 + √(28,28² − 2·9,81·7))/9,81 = 5,507 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 28,28·5,507 = 155,8 m

Ответ

x = 155,8 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 31,32 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·100) = 31,32 m/s

Ответ

v_max = 31,32 m/s

(112,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 21,4 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(230·9,81·0,2011/0,991) = 21,4 m/s

Ответ

v_min = 21,4 m/s

(77,03 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: T = 9,81 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 60°) = 29,43 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·29,43/3 = 9,81 N

Ответ

T = 9,81 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 9,81 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,345 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(3,5 − 0,3·2,5) = 134,9 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,75) = 7,345 m/s

Ответ

v = 7,345 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 52052 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·13/2500 = 5,72 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1100·13² = 92950 J

K_after = ½·2500·5,72² = 40898 J

Потерянная энергия

ΔK = 92950 − 40898 = 52052 J

Ответ

ΔK = 52052 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 5,2 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,2·(17 + 9) = 5,2 N·s

Ответ

J = 5,2 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5123 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(350/1,6) = 14,79 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 14,79·√(0,04² − 0,02²) = 0,5123 m/s

Ответ

v = 0,5123 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,864 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·120·0,13² = 1,014 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·120·0,05² = 0,15 J

Кинетическая энергия

K = 1,014 − 0,15 = 0,864 J

Ответ

K = 0,864 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,7143

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/60

d_i = 42,86 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −42,86/60 = −0,7143

Ответ

m = −0,7143

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 24 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·3/(0,15 × 10⁻³) = 12 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 24 mm

Ответ

w = 24 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics