Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 2000 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 2000 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 10 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 12 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 25° к горизонту, и он падает на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 25°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 33 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 15° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 11,2 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 3,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 1 kgh = 11,2 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 15 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,15d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 6 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 3,5 kgh = 6 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 9 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 900 kgm₂ = 1900 kgd = 9 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,7 kg на пружине с k = 190 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 3,7 kgk = 190 N/mA = 8 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,8 kg на пружине с k = 400 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,8 kgk = 400 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 50 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 50 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm падает на две щели на расстоянии 0,4 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние y₁ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 1.

λ = 600 nmd = 0,4 mmL = 3 mm = 1

y₁ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 122,5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·2000) = 122,5 m/s

Ответ

v = 122,5 m/s

(440,9 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 3,081 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,081 s

Ответ

t = 3,081 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,421 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Ответ

a = 4,421 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 12,51 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,1·cos 30°) = 5,755 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·5,755) = 12,51 m

Ответ

d = 12,51 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 32,01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 50°) = 32,01 m/s

Ответ

v₀ = 32,01 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 38,49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 33·cos 45° = 23,33 m/s

v_y0 = 33·sin 45° = 23,33 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(23,33² + 2·9,81·20) = 30,61 m/s

Скорость при ударе

v = √(23,33² + 30,61²) = 38,49 m/s

Ответ

v = 38,49 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,137 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,9·sin 15° = 0,4918 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4918·9,81·tan 15°) = 1,137 m/s

Ответ

v = 1,137 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 13,73 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(11,2 − 2·3,5) = 82,4 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 1·82,4/3,5 − 9,81 = 13,73 N

Ответ

N_top = 13,73 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,185 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,4226 − 0,15·0,9063)) = 9,185 m/s

Ответ

v = 9,185 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,539 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(1,5 − 0,15·3) = 20,6 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,05) = 4,539 m/s

Ответ

v = 4,539 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 475,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,06) = 1,085 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 3,5)·1,085/0,008 = 475,8 m/s

Ответ

v = 475,8 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 32,02 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·9) = 10,29 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·10,29/900 = 32,02 m/s

Ответ

v₁ = 32,02 m/s

(115,3 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5688 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(190/3,7) = 7,166 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 7,166·√(0,08² − 0,01²) = 0,5688 m/s

Ответ

v = 0,5688 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,981 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(400/1,8) = 14,91 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,2·14,91 = 2,981 m/s

Ответ

v_max = 2,981 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 33,33 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/50

d_i = 33,33 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

d_i = 33,33 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₁ = 4,5 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·3/(0,4 × 10⁻³) = 4,5 mm

Полоса номер 1

y₁ = 1·4,5 = 4,5 mm

Ответ

y₁ = 4,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics