Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 36 m/s², направленное вверх, в течение 2 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 36 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 6 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 6 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 70 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 140 m со скоростью 90 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 140 mv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,8 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,8 kgr = 1,2 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,35d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,15). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0,15d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 14 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 2000 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 700 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,8 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 15° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1,5 kgL = 1,8 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,3 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 6 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,5 s (со знаком).

m = 0,3 kgk = 150 N/mA = 6 cmt = 0,5 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 460 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

k = 460 N/mA = 4 cmx = 2 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 40 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 40 cmf = 30 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 656 nm падает под прямым углом на решётку с 300 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 300 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 21,37 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Ответ

s = 21,37 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 336,2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 36·2 = 72 m/s

h₁ = ½·36·2² = 72 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9,81) = 264,2 m

h_max = 72 + 264,2 = 336,2 m

Ответ

h_max = 336,2 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,206 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Ответ

a = 3,206 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 34,64 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 16,68)/13 = 2,113 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8,5·2,113 + 16,68 = 34,64 N

Ответ

T = 34,64 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 28,16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 60°) = 28,16 m/s

Ответ

v₀ = 28,16 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,255 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16,26 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 16,26·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,26 + √(264,5 + 981))/9,81 = 5,255 s

Ответ

t = 5,255 s

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 24,47 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 90/3,6 = 25 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(140·9,81) = 0,4551

θ = 24,47°

Ответ

θ = 24,47°

8.Движение по окружности

Ответ: T = 31,85 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·6²/1,2 = 7,848 + 24 = 31,85 N

Ответ

T = 31,85 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 161,8 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9063 = 35,56 N

F = μN = 0,35·35,56 = 12,45 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,45·13 = 161,8 J

Ответ

W_f = 161,8 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,5 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·2,5 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,15·29,43·2,5 = 11,04 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 136,1 → v = √(2·136,1/9) = 5,5 m/s

Ответ

v = 5,5 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 74,07 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·14/2700 = 3,63 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·14² = 68600 J

K_after = ½·2700·3,63² = 17785 J

Потерянная доля

ΔK/K = 50815/68600 = 74,07 %

Ответ

ΔK/K = 74,07 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 165,6 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 15°) = 0,06133 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,06133) = 1,097 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,51·1,097/0,01 = 165,6 m/s

Ответ

v = 165,6 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = 1,102 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/0,3) = 22,36 rad/s

ω·t = 22,36·0,5 = 11,18 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(11,18) = 1,102 cm

Ответ

x = 1,102 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,092 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·460·0,04² = 0,368 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·460·0,02² = 0,092 J

Ответ

U = 0,092 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −3

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/40

d_i = 120 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −120/40 = −3

Ответ

m = −3

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 11,35 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,1968

θ = 11,35°

Ответ

θ₁ = 11,35°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics