Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 108 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,2 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,2 sa = −5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 20 s и, наконец, тормозит с замедлением 2 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 20 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 30 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 30 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 25 N тянет передний брусок массой 1 kg; брусок массой 8 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgF = 25 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 19 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 19 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,1 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,1 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 3 kg отпускают без начальной скорости на высоте 19,6 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 3 kgh = 19,6 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 4 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 30°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 30 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 7 m вверх по плоскости.

m = 2 kgF = 30 Nθ = 35°μ = 0,15d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg, движущийся со скоростью 19 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1200 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 25 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,3 kgv_in = 25 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 390 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 0,2 kgk = 390 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₄ для режима: гармоника номер 4.

v = 343 m/sn = 4L = 0,8 m

f₄ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 20 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 16 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 20 cmR = 16 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 126 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 30·1,2 = 36 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

Итого

d = 36 + 90 = 126 m

Ответ

d = 126 m

2.Кинематика

Ответ: s = 677,8 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·9 = 22,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·9² = 101,3 m

s₂ = 22,5·20 = 450 m

s₃ = 22,5²/(2·2) = 126,6 m

Полный путь

s = 101,3 + 450 + 126,6 = 677,8 m

Ответ

s = 677,8 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 177,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 124,4 + 53,35 = 177,7 N

Ответ

F = 177,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 22,22 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 22,07)/9 = 0,3253 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(0,3253 + 2,453) = 22,22 N

Ответ

T = 22,22 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,359 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 40° = 13,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 40° = 11,57 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,57/9,81 = 2,359 s

Ответ

t = 2,359 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 30,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 19·sin 50° = 14,55 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 14,55²/(2·9,81) = 10,8 m

Высота над землёй

H = 20 + 10,8 = 30,8 m

Ответ

H = 30,8 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 3,417 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,1)) = 3,417 rad/s

Ответ

ω = 3,417 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 317,8 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·19,6 = 384,6 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 3·384,6/4 + 29,43 = 317,8 N

Ответ

N_bottom = 317,8 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 8,496 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,866 = 8,496 N

F = μN = 0,25·8,496 = 2,124 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,124·4 = 8,496 J

Ответ

W_f = 8,496 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 10,69 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 11,25 N

μ·mg·cos θ = 2,411 N

Работа и энергия

½mv² = (30 − 13,66)·7 = 114,3 J

v = √(2·114,3/2) = 10,69 m/s

Ответ

v = 10,69 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 29,41 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·19/1700 = 13,41 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1200·19² = 216600 J

K_after = ½·1700·13,41² = 152894 J

Потерянная доля

ΔK/K = 63706/216600 = 29,41 %

Ответ

ΔK/K = 29,41 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 9 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(5 + 25) = 9 N·s

Ответ

J = 9 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,198 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Ответ

T = 2,198 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,2222 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,2·9,81/390 = 0,005031 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(390/0,2) = 44,16 rad/s

v_max = A·ω = 0,005031·44,16 = 0,2222 m/s

Ответ

v_max = 0,2222 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₄ = 857,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,8/4 = 0,4 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Ответ

f₄ = 857,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,6667

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 8 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/20

d_i = 13,33 cm

Увеличение

m = −13,33/20 = −0,6667

Ответ

m = −0,6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics