Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 90 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 32 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 32 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 16 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 16 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 60° к горизонту, и он падает на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 60°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 18 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 18 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 70 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 70 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 19 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,35d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 18 kg, движущийся горизонтально со скоростью 30 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 80 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 9 kg (положительна в исходном направлении).

M = 18 kgu = 30 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 80 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1500 kg, едущий на восток со скоростью 13 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1200 kg, едущим на север со скоростью 13 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1500 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 13 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,9 s и амплитудой 16 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 8 cm?

T = 1,9 sA = 16 cmx = 8 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 25 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 15 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 25 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,36. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,36

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,545 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/5,5 = 4,545 s

Ответ

t = 4,545 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 68,19 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 32·1 = 32 m/s

h₁ = ½·32·1² = 16 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 32²/(2·9,81) = 52,19 m

h_max = 16 + 52,19 = 68,19 m

Ответ

h_max = 68,19 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,216 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Ответ

a = 3,216 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 22,07 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 9,81)/8 = 2,453 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·2,453 + 9,81 = 22,07 N

Ответ

T = 22,07 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 30,1 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 120°) = 30,1 m/s

Ответ

v₀ = 30,1 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 6,932 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 18·sin 20° = 6,156 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 6,156²/(2·9,81) = 1,932 m

Высота над землёй

H = 5 + 1,932 = 6,932 m

Ответ

H = 6,932 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 29,88 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·130) = 29,88 m/s

Ответ

v_max = 29,88 m/s (107,6 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,29 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(70·9,81·0,4037/0,9271) = 17,29 m/s

Ответ

v_max = 17,29 m/s

(62,25 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 267,2 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N

F = μN = 0,35·40,18 = 14,06 N

Работа против трения

W_f = F·d = 14,06·19 = 267,2 J

Ответ

W_f = 267,2 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,241 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,2·39,24·3 = 23,54 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 123,6 → v = √(2·123,6/9) = 5,241 m/s

Ответ

v = 5,241 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −20 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 18·30 = 540 kg·m/s

Импульс после удара

540 = 9·80 + 9·v′₂

v′₂ = (540 − 720)/9 = −20 m/s

Ответ

v′₂ = −20 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 9,249 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1500·13 = 19500 kg·m/s

p_y = 1200·13 = 15600 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 24972/2700 = 9,249 m/s

Ответ

v′ = 9,249 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,487 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Ответ

L = 0,487 m

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1583 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1,9 = 3,307 rad/s

Выразите время

0,5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,5) = 0,5236 rad

t = 0,5236/3,307 = 0,1583 s

Ответ

t = 0,1583 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 37,5 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37,5 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

d_i = 37,5 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,531

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,36/1,46 = 0,9315 → θc = 68,67°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,36²) = 0,531

Ответ

NA = 0,531

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics