Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,1 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,1 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 20 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 55 N тянет передний брусок массой 10 kg; брусок массой 6 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 6 kgm₂ = 10 kgF = 55 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 14 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 14 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 55 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 55 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,4 kgr = 1,1 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 800 N/m. На неё кладут мяч массой 0,5 kg, сжимают пружину на 5 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,5 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 1,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 28 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,1 kgv_in = 28 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,1 s (со знаком).

m = 1,6 kgk = 350 N/mA = 8 cmt = 1,1 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 140 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,7 kgk = 140 N/mA = 12 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 60 cmf = −8 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 633 nm падает под прямым углом на решётку с 200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 11,11 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4,5) = 11,11 m

Ответ

s = 11,11 m

2.Кинематика

Ответ: d = 43,37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,1 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1063))/(2·4,905) = 2,974 s

Глубина

d = ½·9,81·2,974² = 43,37 m

Ответ

d = 43,37 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,421 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Ответ

a = 4,421 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,4945 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 47,09)/16 = 0,4945 m/s²

Ответ

a = 0,4945 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 24,11 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21,75 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 21,75²/(2·9,81) = 24,11 m

Ответ

H = 24,11 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 71,27 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 14·cos 35° = 11,47 m/s

v_y0 = 14·sin 35° = 8,03 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(8,03² + 2·9,81·55) = 33,82 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 33,82/11,47 → α = 71,27°

Ответ

α = 71,27°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 12,72 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·55) = 12,72 m/s

Ответ

v_max = 12,72 m/s (45,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 6,653 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·1,1 = 29,09 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,4·29,09/1,1 − 0,4·9,81 = 6,653 N

Ответ

T_top = 6,653 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,2039 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·800·0,05² = 1 J

Высота

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

h = ½kx²/(mg) = 1/4,905 = 0,2039 m

Ответ

h = 0,2039 m

10.Работа и энергия

Ответ: x = 14,22 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(1,5 − 0,15·4,5) = 20,23 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 20,23 → x = √(2·20,23/2000) = 0,1422 m = 14,22 cm

Ответ

x = 14,22 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,857 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·12 = −5,143 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·12 = 6,857 m/s

Ответ

v′₂ = 6,857 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 225 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(17 + 28) = 4,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 4,5/0,02 = 225 N

Ответ

F_avg = 225 N

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −6,773 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(350/1,6) = 14,79 rad/s

ω·t = 14,79·1,1 = 16,27 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(16,27) = −6,773 cm

Ответ

x = −6,773 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,008 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(140/0,7) = 14,14 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·140·0,12² = 1,008 J

Ответ

E = 1,008 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,1176

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/60

d_i = −7,059 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−7,059)/60 = 0,1176

Ответ

m = 0,1176

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 7,273 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,1266

θ = 7,273°

Ответ

θ₁ = 7,273°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics