Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 200 km/h, а длина полосы 1800 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 9,5 m/s и останавливается через 92 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 9,5 m/sd = 92 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 95 N тянет передний брусок массой 6 kg; брусок массой 9 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 9 kgm₂ = 6 kgF = 95 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 31 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 10 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 31 m/sθ = 70°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,5 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,5 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 220 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 220 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 19 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,25d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 20 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 17 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,1 kgv_in = 17 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,4 m имеет период малых колебаний 2,22 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,4 mT = 2,22 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 170 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,9 kgk = 170 N/mA = 13 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,65 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₇ для режима: гармоника номер 7.

v = 343 m/sn = 7L = 0,65 m

f₇ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 480 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 480 nmd = 0,5 mmL = 1,2 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,8573 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1800) = 0,8573 m/s²

Ответ

a = 0,8573 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,044 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,044 s

Ответ

t = 3,044 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,05

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 9,5²/(2·92) = 0,4905 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,4905/9,81 = 0,05

Ответ

μ = 0,05

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,39 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 44,15)/15 = 3,39 m/s²

Ответ

a = 3,39 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,742 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·18,35/9,81 = 3,742 s

Ответ

t = 3,742 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 59,09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 10,6 m/s, v_y = 29,13 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

10 = 29,13·t − 4,905·t²

t = (29,13 + √(29,13² − 2·9,81·10))/9,81 = 5,573 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,6·5,573 = 59,09 m

Ответ

x = 59,09 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,737 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,5·sin 60° = 1,299 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,299·9,81·tan 60°) = 4,698 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,299/4,698 = 1,737 s

Ответ

T = 1,737 s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 30,66 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(220·9,81·0,4037/0,9271) = 30,66 m/s

Ответ

v_max = 30,66 m/s

(110,4 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 14,06 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 14,06 m/s

Ответ

v = 14,06 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 30,53 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2,5 − 0,15·4) = 93,2 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 93,2 → x = √(2·93,2/2000) = 0,3053 m = 30,53 cm

Ответ

x = 30,53 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 183784 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·20/3700 = 10,81 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·20² = 400000 J

K_after = ½·3700·10,81² = 216216 J

Потерянная энергия

ΔK = 400000 − 216216 = 183784 J

Ответ

ΔK = 183784 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 320 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(15 + 17) = 3,2 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,2/0,01 = 320 N

Ответ

F_avg = 320 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,21 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,4/2,22² = 11,21 m/s²

Ответ

g = 11,21 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,437 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(170/0,9) = 13,74 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·170·0,13² = 1,437 J

Ответ

E = 1,437 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₇ = 923,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,65/7 = 0,3714 m

Частота

f = v/λ = 343/0,3714 = 923,5 Hz

Ответ

f₇ = 923,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 1,152 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1,2/(0,5 × 10⁻³) = 1,152 mm

Ответ

Δy = 1,152 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics