Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 9 m/s и останавливается через 83 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 9 m/sd = 83 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 3,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 11 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1700 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 12 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 25 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1700 kgv = 12 m/sr = 25 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 1,1 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 23 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 2000 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 700 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 800 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1300 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 17 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 800 kgm₂ = 1300 kgd = 17 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 470 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,6 kgk = 470 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 60 cmf = −25 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 3 m светлая полоса номер 2 находится в 5,4 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,5 mmL = 3 my₂ = 5,4 mmm = 2

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 1,984 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/7 = 1,984 s

Ответ

t = 1,984 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,131 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·30))/9,81 = 4,131 s

Ответ

t = 4,131 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,04974

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·83) = 0,488 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,488/9,81 = 0,04974

Ответ

μ = 0,04974

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,216 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3,5²/(2·5,035) = 1,216 m

Ответ

d = 1,216 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 26,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,31/9,81 = 2,307 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 11,31·2,307 = 26,1 m

Ответ

x = 26,1 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 67,17 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 11·cos 20° = 10,34 m/s

v_y0 = 11·sin 20° = 3,762 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(3,762² + 2·9,81·30) = 24,55 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 24,55/10,34 → α = 67,17°

Ответ

α = 67,17°

7.Движение по окружности

Ответ: N = 6885 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·12²/25 = 16677 − 9792 = 6885 N

Ответ

N = 6885 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 96,44 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·6,5²/1,1 = 19,62 + 76,82 = 96,44 N

Ответ

T = 96,44 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,416 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,6428 − 0,25·0,766)) = 8,416 m/s

Ответ

v = 8,416 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 41,43 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,3·5) = 85,84 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 85,84 → x = √(2·85,84/1000) = 0,4143 m = 41,43 cm

Ответ

x = 41,43 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 74,07 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·23/2700 = 5,963 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·23² = 185150 J

K_after = ½·2700·5,963² = 48002 J

Потерянная доля

ΔK/K = 137148/185150 = 74,07 %

Ответ

ΔK/K = 74,07 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 33,9 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·17) = 12,91 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·12,91/800 = 33,9 m/s

Ответ

v₁ = 33,9 m/s

(122 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,006 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1/9,81) = 2,006 s

Ответ

T = 2,006 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,714 m/s

Угловая частота

ω = √(470/1,6) = 17,14 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,1·17,14 = 1,714 m/s

Ответ

v_max = 1,714 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,2941

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/60

d_i = −17,65 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−17,65)/60 = 0,2941

Ответ

m = 0,2941

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 450 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,0054·0,0005/(2·3) = 4,5 × 10⁻⁷ m = 450 nm

Ответ

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics