Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 108 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 35 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 35 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 2,5 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1 kgm₂ = 2,5 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,8 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 45° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,8 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 17,5 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 3,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 17,5 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 8 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 45°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 2000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 8 cm бруском массой 2 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,4 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 4 kgL = 1,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1 kg на пружине с k = 250 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1 kgk = 250 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 300 Hz движется со скоростью 20 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 1 m светлая полоса номер 4 находится в 24 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,1 mmL = 1 my₄ = 24 mmm = 4

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 8,571 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/3,5 = 8,571 s

Ответ

t = 8,571 s

2.Кинематика

Ответ: t = 3,791 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,791 s

Ответ

t = 3,791 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 231,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 171,7 + 59,47 = 231,1 N

Ответ

F = 231,1 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,606 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 24,53 N

m₁·g·sin θ = 4,905 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (24,53 − 4,905 − 0)/3,5 = 5,606 m/s²

Ответ

a = 5,606 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 15,09 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17,21 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 17,21²/(2·9,81) = 15,09 m

Ответ

H = 15,09 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,219 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 50° = 6,428 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 50° = 7,66 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 7,66·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,66 + √(58,68 + 1079))/9,81 = 4,219 s

Ответ

t = 4,219 s

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,263 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,8·sin 45° = 1,273 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,273·9,81·tan 45°) = 3,534 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,273/3,534 = 2,263 s

Ответ

T = 2,263 s

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 24,53 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(17,5 − 2·3,5) = 206 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 0,5·206/3,5 − 4,905 = 24,53 N

Ответ

N_top = 24,53 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 34,68 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,7071 = 17,34 N

F = μN = 0,25·17,34 = 4,335 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,335·8 = 34,68 J

Ответ

W_f = 34,68 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,6155 m

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(19,62·(0,342 + 0,2·0,9397)) = 0,6155 m

Ответ

d = 0,6155 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 0,4444 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 4)/(0,5 + 4)·2 = −1,556 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 4)·2 = 0,4444 m/s

Ответ

v′₂ = 0,4444 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1270 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 40°) = 0,3275 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,3275) = 2,535 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,008·2,535/0,008 = 1270 m/s

Ответ

v = 1270 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,794 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Ответ

T = 1,794 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,9487 m/s

Угловая частота

ω = √(250/1) = 15,81 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,06·15,81 = 0,9487 m/s

Ответ

v_max = 0,9487 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 283,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 20)

f′ = 283,5 Hz

Ответ

f′ = 283,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 600 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,024·0,0001/(4·1) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

Ответ

λ = 600 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics