Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 600 m.

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 5 s и, наконец, тормозит с замедлением 4 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 5 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 4,5 kg и 4 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 4 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 4 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s, и он должен упасть на расстоянии 150 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 40 m/sR = 150 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 39 m/s под углом 50° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 19 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 39 m/sθ = 50°h_roof = 19 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 70 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 70 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,9 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,9 kgr = 0,6 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 19 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,1d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 800 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 10 cm бруском массой 2 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 2 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 5 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 5 kgh = 5 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1200 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1400 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 11 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1400 kgd = 11 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,3 kg на пружине с k = 300 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,3 kgk = 300 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 5 m от него равен 95 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 50 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 95 dBr₁ = 5 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Решётка с 200 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 1 для спектральной линии под углом 6,1° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 200 mm⁻¹θ₁ = 6,1°m = 1

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 48,99 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·2·600) = 48,99 m/s

Ответ

v = 48,99 m/s

(176,4 km/h)

2.Кинематика

Ответ: s = 46,5 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·4 = 6 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·1,5·4² = 12 m

s₂ = 6·5 = 30 m

s₃ = 6²/(2·4) = 4,5 m

Полный путь

s = 12 + 30 + 4,5 = 46,5 m

Ответ

s = 46,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,5771 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (4,5 − 4)·9,81/(4,5 + 4) = 0,5771 m/s²

Ответ

a = 0,5771 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,73 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 39,24 N

m₁·g·sin θ = 22,8 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (39,24 − 22,8 − 0)/9,5 = 1,73 m/s²

Ответ

a = 1,73 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 33,44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·150/40² = 0,9197

Угол

2θ = 66,88° → θ = 33,44°

Ответ

θ = 33,44°

Второе решение: 90° − θ = 56,56°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 134,6 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 25,07 m/s, v_y = 29,88 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

19 = 29,88·t − 4,905·t²

t = (29,88 + √(29,88² − 2·9,81·19))/9,81 = 5,369 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 25,07·5,369 = 134,6 m

Ответ

x = 134,6 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,35 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·70) = 14,35 m/s

Ответ

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 221,3 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·8²/0,6 = 18,64 + 202,7 = 221,3 N

Ответ

T = 221,3 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 33,79 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,9063 = 17,78 N

F = μN = 0,1·17,78 = 1,778 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,778·19 = 33,79 J

Ответ

W_f = 33,79 J

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,3847 m

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(19,62·(0,342 + 0,2·0,9397)) = 0,3847 m

Ответ

d = 0,3847 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 248,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,05) = 0,9905 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 5)·0,9905/0,02 = 248,6 m/s

Ответ

v = 248,6 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 28,47 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·11) = 13,14 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·13,14/1200 = 28,47 m/s

Ответ

v₁ = 28,47 m/s

(102,5 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,198 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Ответ

T = 2,198 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 5,376 m/s

Угловая частота

ω = √(300/0,3) = 31,62 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,17·31,62 = 5,376 m/s

Ответ

v_max = 5,376 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 75 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (5/50)² = 0,01

Новый уровень

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0,01) = 75 dB

Ответ

β₂ = 75 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 531,3 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 5 × 10⁻⁶·sin 6,1°/1 = 531,3 nm

Ответ

λ = 531,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics