Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 90 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 15 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 30 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 15 mv_0B = 30 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 5 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s под углом 45° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 98 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 40 m/sθ = 45°x = 98 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 14 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 370 m со скоростью 70 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 370 mv = 70 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,9 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,9 kgr = 1,2 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,6 kgv_in = 16 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1 m имеет период малых колебаний 3,26 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1 mT = 3,26 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 4 s и амплитудой 7 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 2,1 cm?

T = 4 sA = 7 cmx = 2,1 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «вода» (n = 1,33) при любом угле падения больше 24,4°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 24,4°n₂ = 1,33

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 20 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,333 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/7,5 = 3,333 s

Ответ

t = 3,333 s

2.Кинематика

Ответ: y = 13,77 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 15/30 = 0,5 s

Высота встречи

y = 30·0,5 − ½·9,81·0,5² = 13,77 m

Ответ

y = 13,77 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 40,92 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 31,53 + 9,394 = 40,92 N

Ответ

F = 40,92 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,335 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 4,415)/7,5 = 3,335 m/s²

Ответ

a = 3,335 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 39,12 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 40·cos 45° = 28,28 m/s

t = x/v_x = 98/28,28 = 3,465 s

Высота в этот момент

y = 28,28·3,465 − ½·9,81·3,465² = 39,12 m

Ответ

y = 39,12 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 69,98 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y0 = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(5,917² + 2·9,81·60) = 34,82 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,82/12,69 → α = 69,98°

Ответ

α = 69,98°

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 5,947 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 19,44²/(370·9,81) = 0,1042

θ = 5,947°

Ответ

θ = 5,947°

8.Движение по окружности

Ответ: T = 56,83 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·8²/1,2 = 8,829 + 48 = 56,83 N

Ответ

T = 56,83 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 55,57 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,9063 = 44,45 N

F = μN = 0,25·44,45 = 11,11 N

Работа против трения

W_f = F·d = 11,11·5 = 55,57 J

Ответ

W_f = 55,57 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,603 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,3·3) = 39,24 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,6) = 5,603 m/s

Ответ

v = 5,603 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 1,5)/(1 + 1,5)·10 = −2 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 1,5)·10 = 8 m/s

Ответ

v′₁ = −2 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 408 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(18 + 16) = 20,4 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 20,4/0,05 = 408 N

Ответ

F_avg = 408 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3,26² = 3,715 m/s²

Ответ

g = 3,715 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,194 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Выразите время

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/1,571 = 0,194 s

Ответ

t = 0,194 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 3,22

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,33/0,4131 = 3,22

Ответ

n₁ = 3,22

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 23145 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 20000·(343 + 25)/343 = 21458 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 23145 Hz

Ответ

f″ = 23145 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics