Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 10 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 135 N тянет передний брусок массой 2 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgF = 135 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 38 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,3 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,3 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,8 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 11 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,8 kgr = 0,9 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 90 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Найдите тормозной путь d.

v = 90 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 14 kg, движущийся горизонтально со скоростью 15 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 10 kg продолжает движение вперёд со скоростью 42 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 4 kg (положительна в исходном направлении).

M = 14 kgu = 15 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,45 kgv_in = 21 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,9 m имеет период малых колебаний 4,68 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,9 mT = 4,68 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,5 s и амплитудой 9 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 6,3 cm?

T = 1,5 sA = 9 cmx = 6,3 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 5 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 60 cmf = −5 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 40 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 16 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 40 cmR = 16 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 74,07 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7,5) = 74,07 m

Ответ

s = 74,07 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 29,13 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 4,128 = 29,13 m

Ответ

h_max = 29,13 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 63,69 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 41,46 + 22,23 = 63,69 N

Ответ

F = 63,69 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 9,288 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 23,54)/12 = 9,288 m/s²

Ответ

a = 9,288 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 30,41 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 40° = 29,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 40° = 24,43 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 24,43²/(2·9,81) = 30,41 m

Ответ

H = 30,41 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 97,08 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 15° = 23,18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 15° = 6,212 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 6,212·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,212 + √(38,58 + 1177))/9,81 = 4,188 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 23,18·4,188 = 97,08 m

Ответ

x = 97,08 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,468 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·2,3)) = 2,468 rad/s

Ответ

ω = 2,468 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 153,7 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·0,9 = 85,68 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·85,68/0,9 − 1,8·9,81 = 153,7 N

Ответ

T_top = 153,7 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 45,51 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 90/3,6 = 25 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,7·9,81) = 45,51 m

Ответ

d = 45,51 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,132 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(1 − 0,25·2) = 24,53 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,5) = 3,132 m/s

Ответ

v = 3,132 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −52,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 14·15 = 210 kg·m/s

Импульс после удара

210 = 10·42 + 4·v′₂

v′₂ = (210 − 420)/4 = −52,5 m/s

Ответ

v′₂ = −52,5 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 3510 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(18 + 21) = 17,55 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 17,55/0,005 = 3510 N

Ответ

F_avg = 3510 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,622 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/4,68² = 1,622 m/s²

Ответ

g = 1,622 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1851 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1,5 = 4,189 rad/s

Выразите время

0,7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,7) = 0,7754 rad

t = 0,7754/4,189 = 0,1851 s

Ответ

t = 0,1851 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,07692

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/60

d_i = −4,615 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−4,615)/60 = 0,07692

Ответ

m = 0,07692

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 10 cm

Фокусное расстояние

f = R/2 = 8 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/40

d_i = 10 cm

Ход лучей

действительное изображение перед зеркалом

Ответ

d_i = 10 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics