Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 30 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 28 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 30 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5,5 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 24 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 11 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 11 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 170 m со скоростью 120 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 170 mv = 120 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,1d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 35 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 59 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 35 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1100 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 800 kg, едущим на север со скоростью 22 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1100 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 22 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,2 s (со знаком).

m = 2 kgk = 20 N/mA = 8 cmt = 1,2 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 330 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,7 kgk = 330 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 1200 Hz, движущийся со скоростью 15 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 5 m/s, удаляются друг от друга. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,48 и оболочка с n₂ = 1,38. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,48n₂ = 1,38

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 79,37 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7) = 79,37 m

Ответ

s = 79,37 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,071 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

30 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 30/28 = 1,071 s

Ответ

t = 1,071 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,923 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,25·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2266) = 1,923 m/s²

Ответ

a = 1,923 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 51,71 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 39,39 N

μ·m₁·g·cos θ = 8,446 N

Ускорение системы

a = (53,96 − 39,39 − 8,446)/15 = 0,4082 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 0,4082) = 51,71 N

Ответ

T = 51,71 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 14,68 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16,97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16,97 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16,97²/(2·9,81) = 14,68 m

Ответ

H = 14,68 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 81,22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 11·cos 60° = 5,5 m/s

v_y0 = 11·sin 60° = 9,526 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(9,526² + 2·9,81·60) = 35,61 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 35,61/5,5 → α = 81,22°

Ответ

α = 81,22°

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 33,67 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 33,33²/(170·9,81) = 0,6663

θ = 33,67°

Ответ

θ = 33,67°

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,431 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Ответ

v_min = 3,431 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,465 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,4226 − 0,1·0,9063)) = 8,465 m/s

Ответ

v = 8,465 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 20,3 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,2·2) = 20,6 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 20,6 → x = √(2·20,6/1000) = 0,203 m = 20,3 cm

Ответ

x = 20,3 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 27 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 8·35 = 280 kg·m/s

Импульс после удара

280 = 2·59 + 6·v′₂

v′₂ = (280 − 118)/6 = 27 m/s

Ответ

v′₂ = 27 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 55,49 °

Составляющие импульса

p_x = 1100·11 = 12100 kg·m/s

p_y = 800·22 = 17600 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,455 → θ = 55,49°

Ответ

θ = 55,49°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1537 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/2) = 3,162 rad/s

ω·t = 3,162·1,2 = 3,795 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·3,162·sin(3,795) = 0,1537 m/s

Ответ

v = 0,1537 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,647 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(330/1,7) = 13,93 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,19·13,93 = 2,647 m/s

Ответ

v_max = 2,647 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 1133 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 5)/(343 + 15)

f′ = 1133 Hz

Ответ

f′ = 1133 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,5348

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,38/1,48 = 0,9324 → θc = 68,82°

Числовая апертура

NA = √(1,48² − 1,38²) = 0,5348

Ответ

NA = 0,5348

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics