Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 15 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 80 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 15 kgF = 80 Nθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 135 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 1 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 1 kgm₂ = 12 kgF = 135 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 16 m/s под углом 60° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 9 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 16 m/sθ = 60°x = 9 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,9 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,8 kg на лёгкой нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,8 kgr = 1,5 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,2d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 2,5 mL = 1 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 900 kg, движущийся со скоростью 8 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1800 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 900 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 28 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 7 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 28 m/sv_out = 7 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,6 kg на пружине с k = 140 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 10 cm от положения равновесия.

m = 2,6 kgk = 140 N/mA = 11 cmx = 10 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 70 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 0,5 kgk = 70 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «флинт» (n = 1,62) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,62n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 8 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 50 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 8 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 70,55 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3,5) = 70,55 m

Ответ

s = 70,55 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,982 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,982 s

Ответ

t = 3,982 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,694 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 80·sin 35° = 101,3 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 65,53 − 10,13

a = 55,41/15 = 3,694 m/s²

Ответ

a = 3,694 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 8,423 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 25,51)/13 = 8,423 m/s²

Ответ

a = 8,423 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 9,381 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 16·cos 60° = 8 m/s

t = x/v_x = 9/8 = 1,125 s

Высота в этот момент

y = 13,86·1,125 − ½·9,81·1,125² = 9,381 m

Ответ

y = 9,381 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,959 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30,81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14,37 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 14,37·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,37 + √(206,5 + 392,4))/9,81 = 3,959 s

Ответ

t = 3,959 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,319 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,9·sin 25° = 0,3804 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3804·9,81·tan 25°) = 1,319 m/s

Ответ

v = 1,319 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 31,71 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,5 = 41,14 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·41,14/1,5 − 1,8·9,81 = 31,71 N

Ответ

T_top = 31,71 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,474 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,5 − 0,2·0,866)) = 9,474 m/s

Ответ

v = 9,474 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 13,58 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(2,5 − 0,15·1) = 46,11 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 46,11 → x = √(2·46,11/5000) = 0,1358 m = 13,58 cm

Ответ

x = 13,58 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 19200 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·8/2700 = 2,667 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·900·8² = 28800 J

K_after = ½·2700·2,667² = 9600 J

Потерянная энергия

ΔK = 28800 − 9600 = 19200 J

Ответ

ΔK = 19200 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 17,5 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(7 + 28) = 17,5 N·s

Ответ

J = 17,5 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,3363 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(140/2,6) = 7,338 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 7,338·√(0,11² − 0,1²) = 0,3363 m/s

Ответ

v = 0,3363 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 14,01 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,5·9,81/70 = 0,07007 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,1401 m = 14,01 cm

Ответ

x_max = 14,01 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 38,12 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,62 = 0,6173

Критический угол

θc = arcsin(0,6173) = 38,12°

Ответ

θ_c = 38,12°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −11,76 cm

Фокусное расстояние

f = R/2 = 25 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/8

d_i = −11,76 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −11,76 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics