Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 31 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 31 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,9 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,9 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 3,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,2 kgr = 1,3 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 3 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,3). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 18 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,1 kgv_in = 18 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 340 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 0,2 kgk = 340 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 8 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 8 cmf = 12 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,3 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 450 nmd = 0,3 mmL = 3 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 349,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/5,5 = 11,27 s

Путь

d = v·t = 31·11,27 = 349,5 m

Ответ

d = 349,5 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 62 m/s.

2.Кинематика

Ответ: d = 103,7 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,9 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1681))/(2·4,905) = 4,598 s

Глубина

d = ½·9,81·4,598² = 103,7 m

Ответ

d = 103,7 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,421 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Ответ

a = 4,421 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,852 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 34,34 N

m₁·g·sin θ = 18,92 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,382 N

Ускорение системы

a = (34,34 − 18,92 − 3,382)/6,5 = 1,852 m/s²

Ответ

a = 1,852 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 90,27 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30,81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14,37 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·14,37/9,81 = 2,929 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 30,81·2,929 = 90,27 m

Ответ

x = 90,27 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 26,75 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9,397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3,42 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 3,42·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,42 + √(11,7 + 588,6))/9,81 = 2,846 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 9,397·2,846 = 26,75 m

Ответ

x = 26,75 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 28,71 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·120) = 28,71 m/s

Ответ

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 8,462 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·6,5²/1,3 = 1,962 + 6,5 = 8,462 N

Ответ

T = 8,462 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 2,511 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,342 − 0,25·0,9397)) = 2,511 m/s

Ответ

v = 2,511 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,89 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·3 = 176,6 J

μ·m₁g·d = 0,3·78,48·3 = 70,63 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 105,9 → v = √(2·105,9/14) = 3,89 m/s

Ответ

v = 3,89 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,1053 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 4,5)/(5 + 4,5)·2 = 0,1053 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4,5)·2 = 2,105 m/s

Ответ

v′₁ = 0,1053 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 74 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(19 + 18) = 3,7 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,7/0,05 = 74 N

Ответ

F_avg = 74 N

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,3007 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Ответ

L = 0,3007 m

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 1,154 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,2·9,81/340 = 0,005771 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,01154 m = 1,154 cm

Ответ

x_max = 1,154 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 3

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/8

d_i = −24 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−24)/8 = 3

Ответ

m = 3

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 4,5 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·3/(0,3 × 10⁻³) = 4,5 mm

Ответ

Δy = 4,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics