Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 300 km/h, а длина полосы 1600 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,7 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 25° к горизонту с силой 130 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 130 Nθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 10,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 10,5 m/sθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 20° к горизонту, и он падает на расстоянии 70 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 20°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 10 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 125 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 125 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 6 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 6 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 60 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Найдите тормозной путь d.

v = 60 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 2000 N/m у основания наклонной плоскости 35° сжимают на 12 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 5 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 20 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 800 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 900 kg, едущий на восток со скоростью 16 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 23 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 900 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,3 m имеет период малых колебаний 1,44 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,3 mT = 1,44 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 260 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

k = 260 N/mA = 11 cmx = 2 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 792 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 792 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,44. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,44

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 2,17 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1600) = 2,17 m/s²

Ответ

a = 2,17 m/s²

2.Кинематика

Ответ: d = 60,86 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1269))/(2·4,905) = 3,523 s

Глубина

d = ½·9,81·3,523² = 60,86 m

Ответ

d = 60,86 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,534 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 130·sin 25° = 239,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 117,8 − 71,81

a = 46,01/30 = 1,534 m/s²

Ответ

a = 1,534 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 8,347 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,2·cos 30°) = 6,604 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·6,604) = 8,347 m

Ответ

d = 8,347 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 32,69 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 40°) = 32,69 m/s

Ответ

v₀ = 32,69 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,973 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16,97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16,97 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 10 + 16,97·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,97 + √(288 + 196,2))/9,81 = 3,973 s

Ответ

t = 3,973 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,18 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·125) = 19,18 m/s

Ответ

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 15 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·6 = 15 m

Ответ

h_min = 15 m

9.Работа и энергия

Ответ: d = 20,23 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16,67²/(2·0,7·9,81) = 20,23 m

Ответ

d = 20,23 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,4215 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·2000·0,12² = 14,4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14,4/(49,05·(0,5736 + 0,15·0,8192)) = 0,4215 m

Ответ

d = 0,4215 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 114286 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·20/2800 = 14,29 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·20² = 400000 J

K_after = ½·2800·14,29² = 285714 J

Потерянная энергия

ΔK = 400000 − 285714 = 114286 J

Ответ

ΔK = 114286 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 15,58 m/s

Составляющие импульса

p_x = 900·16 = 14400 kg·m/s

p_y = 1500·23 = 34500 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 37385/2400 = 15,58 m/s

Ответ

v′ = 15,58 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 24,75 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/1,44² = 24,75 m/s²

Ответ

g = 24,75 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,052 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·260·0,11² = 1,573 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·260·0,02² = 0,052 J

Ответ

U = 0,052 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6496 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/792 = 0,4331 m

Длина

L = nλ/2 = 3·0,4331/2 = 0,6496 m

Ответ

L = 0,6496 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,2408

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,44/1,46 = 0,9863 → θc = 80,51°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,44²) = 0,2408

Ответ

NA = 0,2408

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics