Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,4 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 45 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 45 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 4,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4,5 m/sθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 14 m/s, и он должен упасть на расстоянии 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 14 m/sR = 15 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 55 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 55 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,8 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,8 kgr = 0,9 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 9 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,35d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 110 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 7 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 110 Nθ = 15°μ = 0,3d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 15 kg, движущийся горизонтально со скоростью 13 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 4 kg продолжает движение вперёд со скоростью 36 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 11 kg (положительна в исходном направлении).

M = 15 kgu = 13 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 36 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 18 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1000 kgd = 18 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 3 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1800 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 500 m/sM = 3 kgk = 1800 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 60 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm падает на две щели на расстоянии 0,2 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 600 nmd = 0,2 mmL = 3 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 40 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

Ответ

s = 40 m

2.Кинематика

Ответ: d = 51,78 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1166))/(2·4,905) = 3,249 s

Глубина

d = ½·9,81·3,249² = 51,78 m

Ответ

d = 51,78 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 254,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 151 + 103,7 = 254,7 N

Ответ

F = 254,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,881 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,3·cos 15°) = 5,382 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·5,382) = 1,881 m

Ответ

d = 1,881 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 24,33 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·15/14² = 0,7508

Угол

2θ = 48,66° → θ = 24,33°

Ответ

θ = 24,33°

Второе решение: 90° − θ = 65,67°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 128,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 15° = 31,88 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 15° = 8,541 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 8,541·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,541 + √(72,95 + 882,9))/9,81 = 4,022 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 31,88·4,022 = 128,2 m

Ответ

x = 128,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,99 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·55) = 17,99 m/s

Ответ

v_max = 17,99 m/s (64,77 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 57,85 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·7,5²/0,9 = 7,848 + 50 = 57,85 N

Ответ

T = 57,85 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 101,3 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,35·32,14 = 11,25 N

Работа против трения

W_f = F·d = 11,25·9 = 101,3 J

Ответ

W_f = 101,3 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,869 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 25,39 N

μ·mg·cos θ = 28,43 N

Работа и энергия

½mv² = (110 − 53,82)·7 = 393,3 J

v = √(2·393,3/10) = 8,869 m/s

Ответ

v = 8,869 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4,636 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 15·13 = 195 kg·m/s

Импульс после удара

195 = 4·36 + 11·v′₂

v′₂ = (195 − 144)/11 = 4,636 m/s

Ответ

v′₂ = 4,636 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 20,28 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·18) = 13,29 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·13,29/1900 = 20,28 m/s

Ответ

v₁ = 20,28 m/s

(73,02 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,287 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,3/9,81) = 2,287 s

Ответ

T = 2,287 s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 10,18 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·500/3,015 = 2,488 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/3,015) = 24,43 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 2,488/24,43 = 0,1018 m = 10,18 cm

Ответ

A = 10,18 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 30 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/60

d_i = 30 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

d_i = 30 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 9 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·3/(0,2 × 10⁻³) = 9 mm

Ответ

Δy = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics