Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,4 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 1,4 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 35 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 18 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 35 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 9,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 17 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 35 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,3 kgr = 0,6 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 10 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,3. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,3d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1,5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 4,5 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 40 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 7 kg продолжает движение вперёд со скоростью 64 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 40 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 13 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 12 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 2000 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 12 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3 kg на пружине с k = 270 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 15 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 13 cm от положения равновесия.

m = 3 kgk = 270 N/mA = 15 cmx = 13 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 100 m/s, попадает в брусок массой 2 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 600 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 600 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «акрил» (n = 1,49). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 2,42n₂ = 1,49

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 633 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 633 nmd = 0,5 mmL = 1,2 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 31,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·1,4 = 17,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5,5) = 14,2 m

Итого

d = 17,5 + 14,2 = 31,7 m

Ответ

d = 31,7 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,944 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 35/18 = 1,944 s

Ответ

t = 1,944 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,512 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Ответ

a = 1,512 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 7,617 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,2·cos 25°) = 5,924 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·5,924) = 7,617 m

Ответ

d = 7,617 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,058 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·15/9,81 = 3,058 s

Ответ

t = 3,058 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 43,64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 17·sin 50° = 13,02 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,02²/(2·9,81) = 8,644 m

Высота над землёй

H = 35 + 8,644 = 43,64 m

Ответ

H = 43,64 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 10,15 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·35) = 10,15 m/s

Ответ

v_max = 10,15 m/s (36,54 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 47,42 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·4²/0,6 = 12,75 + 34,67 = 47,42 N

Ответ

T = 47,42 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 101,9 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,3·33,98 = 10,19 N

Работа против трения

W_f = F·d = 10,19·10 = 101,9 J

Ответ

W_f = 101,9 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,425 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,5 − 3) = 29,43 m²/s²

v = 5,425 m/s

Ответ

v = 5,425 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −128 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 8·40 = 320 kg·m/s

Импульс после удара

320 = 7·64 + 1·v′₂

v′₂ = (320 − 448)/1 = −128 m/s

Ответ

v′₂ = −128 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 24,78 °

Составляющие импульса

p_x = 2000·13 = 26000 kg·m/s

p_y = 1000·12 = 12000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,4615 → θ = 24,78°

Ответ

θ = 24,78°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,7099 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(270/3) = 9,487 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,487·√(0,15² − 0,13²) = 0,7099 m/s

Ответ

v = 0,7099 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 3,454 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·100/2,012 = 0,5964 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(600/2,012) = 17,27 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,5964/17,27 = 0,03454 m = 3,454 cm

Ответ

A = 3,454 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 38 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/2,42 = 0,6157

Критический угол

θc = arcsin(0,6157) = 38°

Ответ

θ_c = 38°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 1,519 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1,2/(0,5 × 10⁻³) = 1,519 mm

Ответ

Δy = 1,519 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics