Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 40 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 23 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 40 mv_0B = 23 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 45°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 10 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 10 m/sθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 35° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,3 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,2 kgr = 1,1 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 110 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Найдите тормозной путь d.

v = 110 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 2 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 10 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 180 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,6 kgk = 180 N/mA = 12 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 643 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 643 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 33,33 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6) = 33,33 m

Ответ

s = 33,33 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,739 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

40 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 40/23 = 1,739 s

Ответ

t = 1,739 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,243 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,1·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,07071) = 6,243 m/s²

Ответ

a = 6,243 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 6,548 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,25·cos 35°) = 7,636 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,636) = 6,548 m

Ответ

d = 6,548 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,018 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9,899/9,81 = 2,018 s

Ответ

t = 2,018 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 63,19 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 40° = 13,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 40° = 11,57 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 11,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,57 + √(133,9 + 981))/9,81 = 4,583 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,79·4,583 = 63,19 m

Ответ

x = 63,19 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,07 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,3·sin 35° = 0,7456 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,7456·9,81·tan 35°) = 2,263 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,7456/2,263 = 2,07 s

Ответ

T = 2,07 s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 4,917 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,1 = 37,84 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·37,84/1,1 − 0,2·9,81 = 4,917 N

Ответ

T_top = 4,917 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 79,31 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,6·9,81) = 79,31 m

Ответ

d = 79,31 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,401 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 19,62·2,5 = 49,05 J

μ·m₁g·d = 0,2·78,48·2,5 = 39,24 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/10) = 1,401 m/s

Ответ

v = 1,401 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1,364 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 3,5)/(2 + 3,5)·5 = −1,364 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3,5)·5 = 3,636 m/s

Ответ

v′₁ = −1,364 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(14 + 10) = 12 N·s

Ответ

J = 12 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,096 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Ответ

L = 1,096 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,296 J

Угловая частота

ω = √(180/0,6) = 17,32 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·180·0,12² = 1,296 J

Ответ

E = 1,296 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,8002 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/643 = 0,5334 m

Длина

L = nλ/2 = 3·0,5334/2 = 0,8002 m

Ответ

L = 0,8002 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 40503 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 35000·(343 + 25)/343 = 37551 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 40503 Hz

Ответ

f″ = 40503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics