Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 300 km/h, а длина полосы 1900 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 6 m/s и останавливается через 6,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 6 m/sd = 6,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 50 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 50 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,5 kgr = 1 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,4d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 10 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 800 kg, движущийся со скоростью 5 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 900 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 800 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 1,2 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 280 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 10 cm от положения равновесия.

m = 2,2 kgk = 280 N/mA = 11 cmx = 10 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 100 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 4 cm от положения равновесия.

k = 100 N/mA = 9 cmx = 4 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 20 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 20 cmf = 8 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 400 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 405 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 400 mm⁻¹λ = 405 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,827 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1900) = 1,827 m/s²

Ответ

a = 1,827 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 5,387 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,387 s

Ответ

t = 5,387 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3008

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·6,1) = 2,951 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,951/9,81 = 0,3008

Ответ

μ = 0,3008

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,427 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 6,377)/9,5 = 2,427 m/s²

Ответ

a = 2,427 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,514 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 70° = 11,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 70° = 31,95 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·31,95/9,81 = 6,514 s

Ответ

t = 6,514 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,947 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 60° = 11,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 60° = 19,92 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 19,92·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,92 + √(396,7 + 1079))/9,81 = 5,947 s

Ответ

t = 5,947 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 22,15 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·50) = 22,15 m/s

Ответ

v_max = 22,15 m/s

(79,73 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 12,91 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·4²/1 = 4,905 + 8 = 12,91 N

Ответ

T = 12,91 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,285 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,5736 − 0,4·0,8192)) = 7,285 m/s

Ответ

v = 7,285 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,132 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,15·5) = 416,9 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,25) = 9,132 m/s

Ответ

v = 9,132 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 52,94 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·5/1700 = 2,353 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·800·5² = 10000 J

K_after = ½·1700·2,353² = 4706 J

Потерянная доля

ΔK/K = 5294/10000 = 52,94 %

Ответ

ΔK/K = 52,94 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 603,9 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 35°) = 0,217 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,217) = 2,063 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,512·2,063/0,012 = 603,9 m/s

Ответ

v = 603,9 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,517 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(280/2,2) = 11,28 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,28·√(0,11² − 0,1²) = 0,517 m/s

Ответ

v = 0,517 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,325 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·100·0,09² = 0,405 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·100·0,04² = 0,08 J

Кинетическая энергия

K = 0,405 − 0,08 = 0,325 J

Ответ

K = 0,325 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,6667

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/20

d_i = 13,33 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −13,33/20 = −0,6667

Ответ

m = −0,6667

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 6

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,405 µm = 6,173 → m_max = 6

Ответ

m_max = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics