Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 29 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 6 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 29 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 17 s и, наконец, тормозит с замедлением 2 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 17 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 9 m/s и останавливается через 17 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 9 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 115 N тянет передний брусок массой 7 kg; брусок массой 6 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 7 kgF = 115 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 22 m/s, и он должен упасть на расстоянии 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 22 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,3 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,4 kgr = 1,5 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 35°μ = 0,25d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,15). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,15d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 25 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 3 kgh = 25 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 20 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 20 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,8 kg на пружине с k = 220 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,8 kgk = 220 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 0,5 m; волны бегут по ней со скоростью 300 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 300 m/sn = 3L = 0,5 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 200 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 633 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 9,667 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/6 = 9,667 s

Ответ

t = 9,667 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 58 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 35 s

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 18/2 = 9 s

Общее время

t = 9 + 17 + 9 = 35 s

Ответ

t = 35 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2428

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·17) = 2,382 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,382/9,81 = 0,2428

Ответ

μ = 0,2428

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 53,08 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 19,13)/13 = 7,375 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(7,375 + 1,472) = 53,08 N

Ответ

T = 53,08 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 15,22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/22² = 0,5067

Угол

2θ = 30,45° → θ = 15,22°

Ответ

θ = 15,22°

Второе решение: 90° − θ = 74,78°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 36,43 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 9,899·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,899 + √(98 + 588,6))/9,81 = 3,68 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 9,899·3,68 = 36,43 m

Ответ

x = 36,43 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,617 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,3·sin 60° = 1,126 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,126·9,81·tan 60°) = 4,374 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1,126/4,374 = 1,617 s

Ответ

T = 1,617 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 15,19 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·6,5²/1,5 = 3,924 + 11,27 = 15,19 N

Ответ

T = 15,19 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 40,18 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,8192 = 8,036 N

F = μN = 0,25·8,036 = 2,009 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,009·20 = 40,18 J

Ответ

W_f = 40,18 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,566 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·2,5 = 122,6 J

μ·m₁g·d = 0,15·49,05·2,5 = 18,39 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 104,2 → v = √(2·104,2/10) = 4,566 m/s

Ответ

v = 4,566 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 555,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,25) = 2,215 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 3)·2,215/0,012 = 555,9 m/s

Ответ

v = 555,9 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 175 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(15 + 20) = 8,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 8,75/0,05 = 175 N

Ответ

F_avg = 175 N

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,765 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,9/9,81) = 2,765 s

Ответ

T = 2,765 s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 11,58 m/s²

Угловая частота

ω = √(220/3,8) = 7,609 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,2·7,609² = 11,58 m/s²

Ответ

a_max = 11,58 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 900 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,5/3 = 0,3333 m

Частота

f = v/λ = 300/0,3333 = 900 Hz

Ответ

f₃ = 900 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 7

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/200 mm = 5 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 5 µm/0,633 µm = 7,899 → m_max = 7

Ответ

m_max = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics