Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 16 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 16 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 45° к горизонту, и он падает на расстоянии 145 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 45°R = 145 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1300 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 20 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 55 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1300 kgv = 20 m/sr = 55 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,4 kg на лёгкой нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,4 kgr = 0,8 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 9 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1900 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 800 kg, едущий на восток со скоростью 15 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1300 kg, едущим на север со скоростью 21 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 800 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 3 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,2 s (со знаком).

m = 1,9 kgk = 350 N/mA = 3 cmt = 0,2 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,2 kg на пружине с k = 410 N/m оттягивают на 3 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,2 kgk = 410 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «флинт» (n = 1,62) к плоской границе со средой «вода» (n = 1,33). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,62n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,25 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 450 nmd = 0,25 mmL = 3 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 52,08 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6) = 52,08 m

Ответ

s = 52,08 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 23,4 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Высота над землёй

h_max = 5 + 18,4 = 23,4 m

Ответ

h_max = 23,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,856 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Ответ

a = 4,856 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 24,32 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/12 = 2,861 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8,5·2,861 + 0 = 24,32 N

Ответ

T = 24,32 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 37,72 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·145/sin 90°) = 37,72 m/s

Ответ

v₀ = 37,72 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 25,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 23·sin 60° = 19,92 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 19,92²/(2·9,81) = 20,22 m

Высота над землёй

H = 5 + 20,22 = 25,22 m

Ответ

H = 25,22 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 3298 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9,81 − 1300·20²/55 = 12753 − 9455 = 3298 N

Ответ

N = 3298 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 17,08 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,8 = 17,61 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,4·17,61/0,8 − 1,4·9,81 = 17,08 N

Ответ

T_top = 17,08 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,416 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,6428 − 0,25·0,766)) = 8,416 m/s

Ответ

v = 8,416 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 18,26 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(4 − 0,15·4) = 33,35 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 33,35 → x = √(2·33,35/2000) = 0,1826 m = 18,26 cm

Ответ

x = 18,26 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 39462 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·9/3900 = 4,615 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·9² = 81000 J

K_after = ½·3900·4,615² = 41538 J

Потерянная энергия

ΔK = 81000 − 41538 = 39462 J

Ответ

ΔK = 39462 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 14,2 m/s

Составляющие импульса

p_x = 800·15 = 12000 kg·m/s

p_y = 1300·21 = 27300 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 29821/2100 = 14,2 m/s

Ответ

v′ = 14,2 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −2,731 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(350/1,9) = 13,57 rad/s

ω·t = 13,57·0,2 = 2,714 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(2,714) = −2,731 cm

Ответ

x = −2,731 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 10,25 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(410/1,2) = 18,48 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,03·18,48² = 10,25 m/s²

Ответ

a_max = 10,25 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 55,18 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,62 = 0,821

Критический угол

θc = arcsin(0,821) = 55,18°

Ответ

θ_c = 55,18°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 5,4 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·3/(0,25 × 10⁻³) = 5,4 mm

Ответ

Δy = 5,4 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics