Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 120 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 120 km/ht_r = 1,5 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 10 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 18 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 17 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 400 m имеет вираж с уклоном 25°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 400 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 11,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 2 kgr = 1,1 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 10 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,1d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,3). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 3 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0,3d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 20 kg, движущийся горизонтально со скоростью 37 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 19 kg продолжает движение вперёд со скоростью 78 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 20 kgu = 37 m/sm₁ = 19 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 22 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 13 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,3 kgv_in = 22 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,1 kg на пружине с k = 280 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,05 s (со знаком).

m = 1,1 kgk = 280 N/mA = 14 cmt = 0,05 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 60 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 12 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 10 cm от положения равновесия.

k = 60 N/mA = 12 cmx = 10 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 143 Hz: основной тон (первая гармоника). Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 143 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 60 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 20 cm и линза 2 с f₂ = −15 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 20 cmf₂ = −15 cms = 60 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 124,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 33,33·1,5 = 50 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7,5) = 74,07 m

Итого

d = 50 + 74,07 = 124,1 m

Ответ

d = 124,1 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,792 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−5 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 5 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·5))/9,81 = 1,792 s

Ответ

t = 1,792 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,512 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Ответ

a = 1,512 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,27 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 0)/15 = 3,27 m/s²

Ответ

a = 3,27 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 11,08 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 55° = 10,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 55° = 14,74 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 14,74²/(2·9,81) = 11,08 m

Ответ

H = 11,08 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,005 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 35° = 13,93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 35° = 9,751 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 9,751·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,751 + √(95,08 + 294,3))/9,81 = 3,005 s

Ответ

t = 3,005 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 42,78 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(400·9,81·tan 25°) = 42,78 m/s

Ответ

v = 42,78 m/s

(154 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 142,4 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·1,1 = 89,09 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·89,09/1,1 − 2·9,81 = 142,4 N

Ответ

T_top = 142,4 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,006 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,5 − 0,1·0,866)) = 9,006 m/s

Ответ

v = 9,006 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,069 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 29,43·1 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·1 = 5,886 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 23,54 → v = √(2·23,54/5) = 3,069 m/s

Ответ

v = 3,069 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −742 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 20·37 = 740 kg·m/s

Импульс после удара

740 = 19·78 + 1·v′₂

v′₂ = (740 − 1482)/1 = −742 m/s

Ответ

v′₂ = −742 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1050 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(13 + 22) = 10,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 10,5/0,01 = 1050 N

Ответ

F_avg = 1050 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = −1,599 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(280/1,1) = 15,95 rad/s

ω·t = 15,95·0,05 = 0,7977 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·15,95·sin(0,7977) = −1,599 m/s

Ответ

v = −1,599 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,132 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·60·0,12² = 0,432 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·60·0,1² = 0,3 J

Кинетическая энергия

K = 0,432 − 0,3 = 0,132 J

Ответ

K = 0,132 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,5997 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/143 = 2,399 m

Длина

L = nλ/4 = 1·2,399/4 = 0,5997 m

Ответ

L = 0,5997 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −13,33 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/15 → d_i1 = −60 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 60 − (−60) = 120 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/120 → d_i2 = −13,33 cm

Ответ

d_i2 = −13,33 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics