Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 18 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 18 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 5 s, затем движется с постоянной скоростью 7 s и, наконец, тормозит с замедлением 3,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 7 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 110 N тянет передний брусок массой 8 kg; брусок массой 4 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgF = 110 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 10 m/s, и он должен упасть на расстоянии 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 10 m/sR = 5 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 35 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 105 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 105 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 10 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 2 kgh = 10 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 400 N/m. На неё кладут мяч массой 0,05 kg, сжимают пружину на 5 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,05 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 500 N/m у основания наклонной плоскости 15° сжимают на 12 cm бруском массой 3 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 3 kgk = 500 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 11 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 2,5 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 1 kgL = 1,3 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 400 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 12 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 8 cm от положения равновесия.

m = 2,8 kgk = 400 N/mA = 12 cmx = 8 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,8 s и амплитудой 10 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 10 cm в точку со смещением 7,5 cm?

T = 2,8 sA = 10 cmx = 7,5 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 440 Hz, движущийся со скоростью 20 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 15 m/s, удаляются друг от друга. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,45. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,45

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 10,29 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/3,5 = 10,29 s

Ответ

t = 10,29 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 36 m/s.

2.Кинематика

Ответ: s = 141,1 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·5 = 12,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·5² = 31,25 m

s₂ = 12,5·7 = 87,5 m

s₃ = 12,5²/(2·3,5) = 22,32 m

Полный путь

s = 31,25 + 87,5 + 22,32 = 141,1 m

Ответ

s = 141,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,257 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

Ответ

a = 3,257 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 36,67 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 11,77)/12 = 8,186 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(8,186 + 0,981) = 36,67 N

Ответ

T = 36,67 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 14,69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·5/10² = 0,4905

Угол

2θ = 29,37° → θ = 14,69°

Ответ

θ = 14,69°

Второе решение: 90° − θ = 75,31°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 37,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 35·sin 20° = 11,97 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 11,97²/(2·9,81) = 7,304 m

Высота над землёй

H = 30 + 7,304 = 37,3 m

Ответ

H = 37,3 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,85 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·105) = 26,85 m/s

Ответ

v_max = 26,85 m/s (96,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 215,8 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·10 = 196,2 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 2·196,2/2 + 19,62 = 215,8 N

Ответ

N_bottom = 215,8 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 1,019 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·400·0,05² = 0,5 J

Высота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,5/0,4905 = 1,019 m

Ответ

h = 1,019 m

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,303 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·500·0,12² = 3,6 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,6/(29,43·(0,2588 + 0,15·0,9659)) = 0,303 m

Ответ

d = 0,303 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 246,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2,5)·1,469/0,015 = 246,3 m/s

Ответ

v = 246,3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 94,28 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 30°) = 0,1742 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1742) = 1,849 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,02·1,849/0,02 = 94,28 m/s

Ответ

v = 94,28 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,069 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(400/2,8) = 11,95 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,95·√(0,12² − 0,08²) = 1,069 m/s

Ответ

v = 1,069 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,3221 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/2,8 = 2,244 rad/s

Выразите время

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,244 = 0,3221 s

Ответ

t = 0,3221 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 397,6 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 15)/(343 + 20)

f′ = 397,6 Hz

Ответ

f′ = 397,6 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,1706

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,45/1,46 = 0,9932 → θc = 83,29°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,45²) = 0,1706

Ответ

NA = 0,1706

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics