Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 15 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 11 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 15 mv_0B = 11 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 15 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 25° к горизонту с силой 50 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 15 kgF = 50 Nθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 16 m/s под углом 35° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 16 m/sθ = 35°x = 20 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 4 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 4 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,1 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,1 kgr = 1,2 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 70 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Найдите тормозной путь d.

v = 70 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 3,5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 700 kg, движущийся со скоростью 18 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 700 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 9 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,1 kgv_in = 9 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 290 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 0,8 kgk = 290 N/mA = 13 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 20 g, летящая со скоростью 250 m/s, попадает в брусок массой 1,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 2000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 20 gv = 250 m/sM = 1,5 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 15 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 15 cmf = −20 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm проходит через одиночную щель шириной 0,1 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 1 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 600 nma = 0,1 mmL = 1 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 69,23 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6,5) = 69,23 m

Ответ

s = 69,23 m

2.Кинематика

Ответ: y = 5,879 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 15/11 = 1,364 s

Высота встречи

y = 11·1,364 − ½·9,81·1,364² = 5,879 m

Ответ

y = 5,879 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,5006 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 50·sin 25° = 126 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 45,32 − 37,81

a = 7,51/15 = 0,5006 m/s²

Ответ

a = 0,5006 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 7,848 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 0)/5 = 1,962 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·1,962 + 0 = 7,848 N

Ответ

T = 7,848 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 2,582 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 16·cos 35° = 13,11 m/s

t = x/v_x = 20/13,11 = 1,526 s

Высота в этот момент

y = 9,177·1,526 − ½·9,81·1,526² = 2,582 m

Ответ

y = 2,582 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 83,86 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15,43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18,39 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 18,39·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,39 + √(338 + 882,9))/9,81 = 5,436 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,43·5,436 = 83,86 m

Ответ

x = 83,86 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 1,872 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·4)) = 1,872 rad/s

Ответ

ω = 1,872 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 62,35 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,1·9,81 + 1,1·7,5²/1,2 = 10,79 + 51,56 = 62,35 N

Ответ

T = 62,35 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 32,12 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,6·9,81) = 32,12 m

Ответ

d = 32,12 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 55,37 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(3,5 − 0,25·1,5) = 153,3 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 153,3 → x = √(2·153,3/1000) = 0,5537 m = 55,37 cm

Ответ

x = 55,37 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 56700 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·18/1400 = 9 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·700·18² = 113400 J

K_after = ½·1400·9² = 56700 J

Потерянная энергия

ΔK = 113400 − 56700 = 56700 J

Ответ

ΔK = 56700 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 2,3 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(14 + 9) = 2,3 N·s

Ответ

J = 2,3 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 2,408 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(290/0,8) = 19,04 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 19,04·√(0,13² − 0,03²) = 2,408 m/s

Ответ

v = 2,408 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 9,068 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,02·250/1,52 = 3,289 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1,52) = 36,27 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 3,289/36,27 = 0,09068 m = 9,068 cm

Ответ

A = 9,068 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,5714

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/15

d_i = −8,571 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−8,571)/15 = 0,5714

Ответ

m = 0,5714

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 12 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·1/(0,1 × 10⁻³) = 6 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 12 mm

Ответ

w = 12 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics