Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 220 km/h, а длина полосы 1300 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 32 m/s², направленное вверх, в течение 3 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 32 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7,5 kg и 6,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 6,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9 kgm₂ = 8,5 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s, и он должен упасть на расстоянии 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 30 m/sR = 40 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 105 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 105 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,1 kg на лёгкой нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,1 kgr = 1,3 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 5 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 90° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 5 kgL = 2 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 2000 N/m у основания наклонной плоскости 40° сжимают на 8 cm бруском массой 2 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 19 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1100 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 2000 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,8 kg на пружине с k = 40 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

m = 3,8 kgk = 40 N/mA = 18 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 40 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 40 N/mA = 13 cmx = 1 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,5 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,5 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,436 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·1300) = 1,436 m/s²

Ответ

a = 1,436 m/s²

2.Кинематика

Ответ: h_max = 613,7 m

Активный участок

v₁ = 32·3 = 96 m/s

h₁ = ½·32·3² = 144 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 96²/(2·9,81) = 469,7 m

h_max = 144 + 469,7 = 613,7 m

Ответ

h_max = 613,7 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7007 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7,5 − 6,5)·9,81/(7,5 + 6,5) = 0,7007 m/s²

Ответ

a = 0,7007 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,49 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 37,31 N

μ·m₁·g·cos θ = 20 N

Ускорение системы

a = (83,39 − 37,31 − 20)/17,5 = 1,49 m/s²

Ответ

a = 1,49 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 12,92 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·40/30² = 0,436

Угол

2θ = 25,85° → θ = 12,92°

Ответ

θ = 12,92°

Второе решение: 90° − θ = 77,08°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 135,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 10,94·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,94 + √(119,8 + 981))/9,81 = 4,498 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 30,07·4,498 = 135,2 m

Ответ

x = 135,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,85 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·105) = 26,85 m/s

Ответ

v_max = 26,85 m/s (96,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 39,33 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,3 = 59,24 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·59,24/1,3 − 1,1·9,81 = 39,33 N

Ответ

T_top = 39,33 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 147,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 90°) = 39,24 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·39,24/2 = 147,2 N

Ответ

T = 147,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 147,2 N.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,4305 m

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·2000·0,08² = 6,4 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,4/(19,62·(0,6428 + 0,15·0,766)) = 0,4305 m

Ответ

d = 0,4305 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 0,6667 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 2,5)/(0,5 + 2,5)·2 = −1,333 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 2,5)·2 = 0,6667 m/s

Ответ

v′₂ = 0,6667 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 24,85 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 2000·19 = 38000 kg·m/s

p_y = 1100·16 = 17600 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,4632 → θ = 24,85°

Ответ

θ = 24,85°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,561 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(40/3,8) = 3,244 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 3,244·√(0,18² − 0,05²) = 0,561 m/s

Ответ

v = 0,561 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,002 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·40·0,13² = 0,338 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·40·0,01² = 0,002 J

Ответ

U = 0,002 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 514,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,5/3 = 0,6667 m

Частота

f = v/λ = 343/0,6667 = 514,5 Hz

Ответ

f₃ = 514,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 28931 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 + 25)/343 = 26822 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 28931 Hz

Ответ

f″ = 28931 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics