Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 54 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 35 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 18 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 35 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 5,5 m/s и останавливается через 7,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 5,5 m/sd = 7,7 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 18 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 18 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 145 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 145 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,3 kgr = 0,9 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 3 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 1,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1900 kg, движущийся со скоростью 25 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1100 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1900 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 24 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 11 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 24 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,6 m имеет период малых колебаний 1,45 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,6 mT = 1,45 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 250 m/s, попадает в брусок массой 1 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 250 m/sM = 1 kgk = 100 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Одна машина создаёт уровень звука 70 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 10 одинаковых машин (некогерентные источники).

β₁ = 70 dBn = 10

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 300 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 450 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 300 mm⁻¹λ = 450 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 18,75 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18,75 m

Ответ

s = 18,75 m

2.Кинематика

Ответ: y = 16,45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 35/18 = 1,944 s

Высота встречи

y = 18·1,944 − ½·9,81·1,944² = 16,45 m

Ответ

y = 16,45 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2002

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 5,5²/(2·7,7) = 1,964 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,964/9,81 = 0,2002

Ответ

μ = 0,2002

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 9,81 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/4,5 = 3,27 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·3,27 + 0 = 9,81 N

Ответ

T = 9,81 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 141,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 60° = 20 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 60° = 34,64 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·34,64/9,81 = 7,062 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20·7,062 = 141,2 m

Ответ

x = 141,2 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 49,13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 18·sin 30° = 9 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

Высота над землёй

H = 45 + 4,128 = 49,13 m

Ответ

H = 49,13 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,85 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·145) = 23,85 m/s

Ответ

v_max = 23,85 m/s (85,87 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 42 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·4,5²/0,9 = 12,75 + 29,25 = 42 N

Ответ

T = 42 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 5,097 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,1·16,99 = 1,699 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,699·3 = 5,097 J

Ответ

W_f = 5,097 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,914 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,3·1,5) = 198,7 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,05) = 8,914 m/s

Ответ

v = 8,914 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 217708 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·25/3000 = 15,83 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1900·25² = 593750 J

K_after = ½·3000·15,83² = 376042 J

Потерянная энергия

ΔK = 593750 − 376042 = 217708 J

Ответ

ΔK = 217708 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 245 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(11 + 24) = 12,25 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 12,25/0,05 = 245 N

Ответ

F_avg = 245 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,27 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,6/1,45² = 11,27 m/s²

Ответ

g = 11,27 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 24,88 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·250/1,01 = 2,475 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(100/1,01) = 9,95 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 2,475/9,95 = 0,2488 m = 24,88 cm

Ответ

A = 24,88 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 80 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Суммарная интенсивность

I = 10·I₁

Уровень

β = 70 + 10·log₁₀(10) = 80 dB

Ответ

β = 80 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 7

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 3,333 µm/0,45 µm = 7,407 → m_max = 7

Ответ

m_max = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics