Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,2 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,2 sa = −6 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 28 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 5 kg и 2,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 5 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 37 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 6 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 37 m/sθ = 60°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 125 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 125 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 200 m имеет вираж с уклоном 10°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 200 mθ = 10°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 100 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Найдите тормозной путь d.

v = 100 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 800 kg, едущий на восток со скоростью 22 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1700 kg, едущим на север со скоростью 24 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 800 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,2 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,2 kgk = 350 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 1000 Hz движется со скоростью 20 m/s к неподвижному наблюдателю. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 10 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 12 cm и линза 2 с f₂ = 15 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 12 cmf₂ = 15 cms = 10 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 32,74 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,2 = 16,67 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6) = 16,08 m

Итого

d = 16,67 + 16,08 = 32,74 m

Ответ

d = 32,74 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 53,96 m

Активный участок

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9,81) = 39,96 m

h_max = 14 + 39,96 = 53,96 m

Ответ

h_max = 53,96 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (5 − 2,5)·9,81/(5 + 2,5) = 3,27 m/s²

Ответ

a = 3,27 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,101 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 5,886)/7,5 = 5,101 m/s²

Ответ

a = 5,101 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 25,3 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7,607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16,31 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·16,31/9,81 = 3,326 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 7,607·3,326 = 25,3 m

Ответ

x = 25,3 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 117,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 18,5 m/s, v_y = 32,04 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

6 = 32,04·t − 4,905·t²

t = (32,04 + √(32,04² − 2·9,81·6))/9,81 = 6,34 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,5·6,34 = 117,3 m

Ответ

x = 117,3 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,18 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·125) = 19,18 m/s

Ответ

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 34,88 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(200·9,81·0,5676/0,9153) = 34,88 m/s

Ответ

v_max = 34,88 m/s

(125,6 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: d = 78,65 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,5·9,81) = 78,65 m

Ответ

d = 78,65 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 43,6 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,15·3) = 76,03 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 76,03 → x = √(2·76,03/800) = 0,436 m = 43,6 cm

Ответ

x = 43,6 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·3 = 2 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·3 = 5 m/s

Ответ

v′₂ = 5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 17,77 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 800·22 = 17600 kg·m/s

p_y = 1700·24 = 40800 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 44434/2500 = 17,77 m/s

Ответ

v′ = 17,77 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,948 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

Ответ

L = 1,948 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,51 m/s

Угловая частота

ω = √(350/0,2) = 41,83 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,06·41,83 = 2,51 m/s

Ответ

v_max = 2,51 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 1062 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 1062 Hz

Ответ

f′ = 1062 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 11,54 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/15 → d_i1 = 60 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 10 − 60 = −50 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/15 − 1/(−50) → d_i2 = 11,54 cm

Ответ

d_i2 = 11,54 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics