Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд +5 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 45 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = +5 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 4 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 6 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 50 витков площадью 20 cm² и сопротивлением 4 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,05 T до 0,65 T за 500 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 50A = 20 cm²B: 0,05 T → 0,65 TΔt = 500 msR = 4 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Протон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 4 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,2 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,8 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 TB₂ = 0,8 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

P = W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,554 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,45² = 443951 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |443951 − 1,998 × 10⁶| = 1,554 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,554 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 167,8 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·4 × 10⁻¹²/0,06² = 99,89 N

F₂ = k·6·4 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

Векторная сумма

F = √(99,89² + 134,8²) = 167,8 N

Ответ

F = 167,8 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,143 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 6 + 2,4 = 8,4 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8,4 = 2,143 A

Ответ

I_R1 = 2,143 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,219 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 11,49 Ω

R₃ + 11,49 = 16,49 Ω

R₂ ∥ 16,49 = 3,219 Ω

R_eq = R₁ + 3,219 = 5 + 3,219 = 8,219 Ω

Ответ

R_eq = 8,219 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 7,701 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/7,5 = 7,701 V

Ответ

v_L = 7,701 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 1,029 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 20/(15 + 33) = 0,4167 A

i(∞) = 20/15 = 1,333 A

τ = L/R = 68/15 = 4,533 ms

i(t) = 1,333 + (0,4167 − 1,333)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 1,333 + (−0,9167)·e^−5/4,533 = 1,029 A

Ответ

i = 1,029 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 30 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,65 − 0,05)·0,002 = 0,0012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0012/0,5 = 0,12 V

Ток

I = ε/R = 0,12/4 = 0,03 A

Ответ

I = 30 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,2611 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,2 = 200000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,002611 m = 0,2611 cm

Ответ

r = 0,2611 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 31,07 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 251,3 Ω, X_C = 169,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(15² + (82,01)²) = 83,37 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 120/83,37 = 1,439 A

P = I²·R = 1,439²·15 = 31,07 W

Ответ

P = 31,07 W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2717 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−181,5)²) = 184 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/184 = 0,2717 A

Ответ

I = 0,2717 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism