Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +4 µC слева, +8 µC справа на расстоянии 40 cm и −3 µC между ними, на расстоянии 24 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +8 µCq_M = −3 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.

V_s = 24 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,63 A? Найдите t.

V_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩL = 220 mH

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Альфа-частица движется по окружности в однородном магнитном поле 0,1 T. Найдите время T, за которое он делает один оборот.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 0,1 T

T = ns

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Короткая катушка из 20 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 1500 витков длиной 40 cm и диаметром 3 cm. Ток в соленоиде меняется со скоростью 500 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую в короткой катушке.

N₁ = 1500N₂ = 20l = 40 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 500 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 6,555 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·4·3 × 10⁻¹²/0,24² = −1,873 N

F_R = +k·8·3 × 10⁻¹²/0,16² = 8,428 N

Результирующая сила

F = −1,873 + (8,428) = 6,555 N → |F| = 6,555 N

Ответ

F = 6,555 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 17,07 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0,1² = 2,697 N

F₂ = k·3·1 × 10⁻¹²/0,04² = 16,86 N

Векторная сумма

F = √(2,697² + 16,86²) = 17,07 N

Ответ

F = 17,07 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,5 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 8 + 12 = 20 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/20 = 1,5 A

Ответ

I_R1 = 1,5 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,5602 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 4 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 6,27 Ω

R₃ + 6,27 = 18,27 Ω

R₂ ∥ 18,27 = 3,926 Ω

R_eq = R₁ + 3,926 = 5 + 3,926 = 8,926 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/8,926 = 0,5602 A

Ответ

I_R1 = 0,5602 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 17,26 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 24/33 = 0,7273 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,7273·(1 − e^−5/3,03) = 0,5876 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·100·0,5876² = 17,26 mJ

Ответ

W = 17,26 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 11,24 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 9/(10 + 10) = 0,45 A

i(∞) = 9/10 = 0,9 A

τ = L/R = 220/10 = 22 ms

i(t) = 0,9 + (0,45 − 0,9)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,63 − 0,9)/(0,45 − 0,9) = 0,6

t = 22·ln(1,667) = 11,24 ms

Ответ

t = 11,24 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: T = 1303 ns

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Период движения по окружности

Более быстрая частица движется по большей окружности, поэтому время на один оборот остаётся прежним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,1) = 1303 ns

Ответ

T = 1303 ns

Скорость не нужна: поэтому циклотрон может работать на одной фиксированной частоте.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 33,31 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·20·0,0007069/0,4 = 66,62 µH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 6,662 × 10⁻⁵·500 = 33,31 mV

Ответ

ε = 33,31 mV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,03563 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (280,3)²) = 280,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/280,7 = 0,03563 A

Ответ

I = 0,03563 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 318,3 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·1·10⁻⁶)) = 318,3 Hz

Ответ

f₀ = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism