Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +6 µC и +3 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 5 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCr = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 6 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 10 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 80 ms.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 3 Vt = 80 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 25 cm скользит со скоростью 5 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,6 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 8 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите ток I.

B = 0,6 TL = 25 cmv = 5 m/sR = 8 Ω

I = mA

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 2000 витков, длину 40 cm и диаметр 2,5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 2000l = 40 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 72,82 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (6 + 3)/2 = 4,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(4,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 72,82 N

Ответ

F = 72,82 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 84,7 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,08² = 84,28 N

Векторная сумма

F = √(8,428² + 84,28²) = 84,7 N

Ответ

F = 84,7 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,4 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 15 + 2,4 = 17,4 Ω

Ответ

R_eq = 17,4 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 31,39 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 15,71 Ω

R₃ + 15,71 = 17,71 Ω

R₂ ∥ 17,71 = 6,392 Ω

R_eq = R₁ + 6,392 = 25 + 6,392 = 31,39 Ω

Ответ

R_eq = 31,39 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 0,1348 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 20/50 = 0,4 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−1/0,2 = 0,1348 V

Ответ

v_L = 0,1348 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 3,61 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (3 − 5)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(80) = 5 + (−2)·e^−80/220 = 3,61 V

Ответ

v_C = 3,61 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 93,75 mA

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,6·0,25·5 = 0,75 V

Ток

I = ε/R = 0,75/8 = 0,09375 A

Ответ

I = 93,75 mA

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 6,169 mH

Поперечное сечение

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0004909/0,4 = 0,006169 H = 6,169 mH

Ответ

L = 6,169 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1335 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (169,5)²) = 179,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/179,8 = 0,1335 A

Ответ

I = 0,1335 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 13,5 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 2,057 − j6,076 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 2,057 − j6,076 = 12,06 − j6,076 Ω

|Z| = √(12,06² + 6,076²) = 13,5 Ω

Ответ

|Z| = 13,5 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism