Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −10 µC и −2 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 30 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −2 µCr = 30 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +3 µC и −3 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 10 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 7,2 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 250 витков имеет площадь 10 cm². Катушка находится в однородном поле 0,5 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 500 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 250A = 10 cm²B = 0,5 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 250 витков размером 5 cm × 25 cm вращается в однородном поле 0,25 T вокруг оси, перпендикулярной полю. С какой скоростью n (в оборотах в минуту) она должна вращаться, чтобы действующее значение ЭДС составляло 173,6 V?

N = 250A = 5 cm × 25 cmB = 0,25 TE_rms = 173,6 V

n = rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF

P = W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 20 mH и C = 10 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−10 + −2)/2 = −6 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0,3² = 3,596 N

Ответ

F = 3,596 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 4,74 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1044² = 2,474 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,474 × 10⁶·0,9578 = 4,74 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 4,74 × 10⁶ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 12,55 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 10·19/(10+19) = 6,552 Ω

R_eq = R₁ + 6,552 = 6 + 6,552 = 12,55 Ω

Ответ

R_eq = 12,55 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 12,61 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 1,714 Ω

R₃ + 1,714 = 26,71 Ω

R₂ ∥ 26,71 = 9,606 Ω

R_eq = R₁ + 9,606 = 3 + 9,606 = 12,61 Ω

Ответ

R_eq = 12,61 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1177 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0,1515 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1515·(1 − e^−1/0,6667) = 0,1177 A

Ответ

i = 0,1177 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 56,59 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 6 + (10 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

7,2 = 6 + (4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,2 − 6)/(10 − 6) = 0,3

t = τ·ln((10 − 6)/(7,2 − 6)) = 47·ln(3,333) = 56,59 ms

Ответ

t = 56,59 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 250 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,5·0,001 = 0,0005 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0005/0,5 = 0,25 V

Ответ

ε = 250 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: n = 3001 rpm

Амплитудная ЭДС

E₀ = √2·E_rms = 245,5 V

Угловая скорость

ω = E₀/(NBA) = 245,5/(250·0,25·0,0125) = 314,2 rad/s

Обороты в минуту

n = 60·314,2/(2π) = 3001 rpm

Ответ

n = 3001 rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 23,09 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 94,25 Ω, X_C = 15,92 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(10² + (78,33)²) = 78,97 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 120/78,97 = 1,52 A

P = I²·R = 1,52²·10 = 23,09 W

Ответ

P = 23,09 W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 2,236

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 355,9/2,236 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism