Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++8 µC−−3 µCP50 cm

Заряд +8 µC и заряд −3 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 25 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +8 µCq2 = −3 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
L = 50 cm12°qq

Два одинаковых маленьких шарика массой 10 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 50 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 12° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 5 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 ΩR5 = 2 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 4,7 kΩC10 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 30 ms.

Vs = 24 VR1 = 3,3 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µFt = 30 ms
vC = V
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 6,8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 19,4 V? Найдите t.

Vs = 20 VR = 6,8 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
5 A15 Ad = 20 cmP

Два длинных параллельных провода на расстоянии 20 cm друг от друга проводят токи 5 A и 15 A в одном направлении. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I1 = 5 AI2 = 15 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.Магнитные поля и индукцияСложная
E = 2 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,4 TB2​ = 0,4 Tr = ?

Альфа-частица проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 2 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,4 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,4 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 2 × 10⁴ V/mB1 = 0,4 TB2 = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
24 V200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 22 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
5 Vf0​R = 20 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
VL = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,582 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,25² = 1,151 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,25² = 431520 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |1,151 × 10⁶ + 431520| = 1,582 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,582 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 316,6 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 12° = 0,02085 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 12° = 0,2079 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2079·√(0,02085/8,99 × 10⁹) = 3,166 × 10⁻⁷ C = 316,6 nC

Ответ

q = 316,6 nC
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 11,48 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 4·27/(4+27) = 3,484 Ω
Req = R1 + 3,484 = 8 + 3,484 = 11,48 Ω

Ответ

Req = 11,48 Ω
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,4578 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 20 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 10,48 Ω
R3 + 10,48 = 22,48 Ω
R2 ∥ 22,48 = 6,921 Ω
Req = R1 + 6,921 = 4 + 6,921 = 10,92 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/10,92 = 0,4578 A

Ответ

IR1 = 0,4578 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 11,1 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·4,7/(3,3 + 4,7) = 1,939 kΩ
vC(∞) = 24·4,7/(3,3 + 4,7) = 14,1 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 1,939·10 = 19,39 ms

Кривая заряда

vC(t) = 14,1·(1 − e−30/19,39) = 11,1 V

Ответ

vC = 11,1 V
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 81,87 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 20 + (18 − 20)·e−t/τ

Выразите время

19,4 = 20 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (19,4 − 20)/(18 − 20) = 0,3
t = τ·ln((18 − 20)/(19,4 − 20)) = 68·ln(3,333) = 81,87 ms

Ответ

t = 81,87 ms
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 20 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B1 = 2 × 10⁻⁷·5/0,1 = 10 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·15/0,1 = 30 µT

Объедините

B = |B₁ − B₂| = 20 µT

Ответ

B = 20 µT
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,2592 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B1 = 2 × 10⁴/0,4 = 50000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B2) = 0,002592 m = 0,2592 cm

Ответ

r = 0,2592 cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 1,049 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 125,7 Ω, XC = 36,17 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(15² + (89,49)²) = 90,74 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 24/90,74 = 0,2645 A
P = I²·R = 0,2645²·15 = 1,049 W

Ответ

P = 1,049 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 75,38 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·2,2·10⁻⁶) = 1508 rad/s
I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 1508·0,2 = 301,5 Ω
VL = I·XL = 0,25·301,5 = 75,38 V

Ответ

VL = 75,38 V

Это в Q = 15,08 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism